/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Zadanie nr 9226229

Z papierowego koła o promieniu R wycięto wycinek kołowy, który jest powierzchnią boczną stożka o maksymalnej objętości. Jaka była miara kąta środkowego α wyciętego wycinka? Wynik podaj w radianach.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez r promień podstawy, a przez h wysokość utworzonego stożka, to mamy

r2 = R2 − h2

i objętość stożka jest równa

V(h ) = 1πr 2 ⋅ h = 1-π(R 2 − h2)⋅h = 1π (R 2h− h3). 3 3 3

Dziedziną tej funkcji jest przedział h ∈ (0 ,R) . Liczymy pochodną, aby wyznaczyć jej maksimum.

( -- )( -- ) V ′(h) = 1π (R 2 − 3h 2) = 1π R − √ 3h R + √ 3h . 3 3

Wykresem V ′(h) jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych: h = − R√-- 3 i h = √R- 3 . To oznacza, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ⟩ 0, R√-- 3 i ujemna w przedziale ⟨ ) √R-,R 3 . To z kolei oznacza, że największą objętość stożka otrzymamy dla -R- h = √ 3 . Długość okręgu w podstawie stożka jest wtedy równa

∘ -------- ∘ -------2- ∘ ---2- √ -- 2πr = 2π R2 − h2 = 2 π R2 − R-- = 2π 2R--= 2πR --6-. 3 3 3

Interesujący nas kąt α spełnia więc proporcję

√ -- 2π α 2 6 ----- = ----√-6- ⇒ α = ----π . 2 πR 2πR -3- 3

 
Odpowiedź: √ - 2--6π 3

Wersja PDF