/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 5813276

Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie S . Punkty K i M leżą na przekątnej AC tak, że |SK | = m1 ⋅|SA | i |SM | = 1m|SC | . Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL | = -1|BS | m i |DN | = 1-|DS | m (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli stosunek pola czworokąta KLMN do pola rombu ABCD jest równy 1:4, to m = 2 .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

1 ( 1 ) m − 1 SL = SB − LB = SB − --SB = 1− -- SB = ------ ⋅SB . m m m

Analogicznie uzasadniamy, że

m-−-1- SN = m ⋅SD .

Sposób I

Korzystamy z tego, że przekątne rombu są prostopadłe.

1 1 1 m − 1 PKSL = -SK ⋅SL = --⋅--SA ⋅------SB = 2 2 m m m-−-1- 1- m-−--1 m-−--1 1- = m 2 ⋅ 2SA ⋅SB = m2 ⋅ PASB = m 2 ⋅ 4PABCD .

Dokładnie w ten sam sposób uzasadniamy, że

m − 1 1 PLSM = PMSN = PNSK = ---2--⋅--PABCD . m 4

Mamy zatem

P P + P + P + P 4 ⋅P 4 ⋅ m−-1⋅ 1P m − 1 -KLMN-- = -KSL----LSM-----MSN------NSK-= ----KSL-= ----m2---4-ABCD--= ------. PABCD PABCD PABCD PABCD m 2

Z podanego stosunku pól mamy więc równanie

m--−-1 1- m 2 = 4 2 4m − 4 = m 0 = (m − 2)2.

Zatem rzeczywiście m = 2 .

Sposób II

Zauważmy, że przekątne czworokąta KLMN są prostopadłe i dzielą się na połowy. Jest to więc romb i korzystając ze wzoru na pole rombu z przekątnymi mamy

1 1 1 m − 1 m − 1 1 m − 1 PKLMN = --⋅KM ⋅NL = --⋅--⋅AC ⋅------ ⋅BD = ----2- ⋅-AC ⋅BD = ---2--PABCD . 2 2 m m m 2 m

Z podanego stosunku pól mamy więc równanie

m − 1 1 ----2- = -- m 4 4m − 4 = m 2 2 0 = (m − 2) .

Zatem rzeczywiście m = 2 .

Wersja PDF