/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Zbiory liczb

Zadanie nr 4661355

Spośród liczb: -9, -7, -5, -3, -1, 0, 2, 4, 6, 8 losujemy dwie różne liczby a i b , a następnie zapisujemy ich iloczyn a ⋅b . Oblicz i porównaj prawdopodobieństwa zdarzeń A i B , jeśli: A oznacza zdarzenie, że iloczyn a⋅ b jest liczbą nieujemną; B – zdarzenie, że iloczyn a⋅b jest liczbą niedodatnią.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przyjmijmy za przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω wszystkie możliwe pary (a,b) wylosowanych liczb (uwzględniamy kolejność). Wszystkich takich par jest 10 ⋅9 (pierwszą liczbę wybieramy dowolnie, drugą z pozostałych dziewięciu). Zatem

|Ω | = 90.

Zdarzenia sprzyjające do A możemy podzielić na

  • jedna z wylosowanych liczb jest 0, druga dowolna – takich zdarzeń jest 9+9=18
  • pierwsza wylosowana liczba jest ujemna, druga też ujemna – 5⋅4 zdarzeń
  • pierwsza wylosowana liczba jest dodatnia, druga też dodatnia – 4⋅ 3 zdarzeń

Zatem

18 + 2 0+ 1 2 5 0 5 P(A ) = ------------- = --- = --. 9 0 9 0 9

Podobnie wyliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B

18+--20+--20- 58- 29- P (B) = 90 = 90 = 45.

Sposób II

Tym razem przyjmijmy, że Ω składa się z par {a,b} , gdzie nie uwzględniamy kolejności (czyli tak naprawdę mamy podzbiory dwuelementowe). Wszystkich takich podzbiorów jest (10) = 10⋅9-= 4 5 2 2 . Zatem

|Ω | = 45.

Podobnie jak poprzednio, zdarzenia sprzyjające do A dzielimy na

  • Jedna z wylosowanych liczb to 0, druga dowolna – jest 9 takich zdarzeń.
  • Obie liczby są dodatnie – (4) = 6 2 możliwości.
  • Obie liczby są ujemne – 5 (2) = 10 możliwości.

Mamy zatem

9 + 6 + 10 25 5 P(A ) = ----------- = ---= --. 4 5 45 9

Zdarzenia sprzyjające do B są dwóch rodzajów

  • Jedna z wylosowanych liczb to 0, druga dowolna – jest 9 takich zdarzeń.
  • Jedna liczba jest dodatnia, druga ujemna – jest 4⋅ 5 = 20 takich zdarzeń.

Zatem

9+--20- 29- P (B) = 45 = 45.

 
Odpowiedź: P (A ) = 5 < P (B) = 29- 9 45

Wersja PDF