/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 1585775

Do windy na parterze budynku wsiadło 8 osób, po czym każda z nich w sposób losowy wysiadła na jednym z pięciu pięter budynku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na jednym z pięter wysiadło co najmniej 6 osób?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy ciągi numerów pięter, na których wysiadają kolejne osoby. Zatem

|Ω | = 5 ⋅5⋅⋅⋅ 5 = 58.

Jest 5 zdarzeń, w których wszystkie osoby wysiadły na jednym pietrze (możemy to piętro wybrać na 5 sposobów).

Obliczmy teraz, ile jest zdarzeń, w których na jednym piętrze wysiadło 7 osób. Numer tego piętra możemy wybrać na 5 sposobów, do tego wybieramy 7 osób, które mają na nim wysiąść – możemy to zrobić na

( ) ( ) 8 = 8 = 8 7 1

sposobów. To jeszcze nie koniec, bo musimy jeszcze wybrać piętro, na którym wysiądzie ostatnia osoba – możemy to zrobić na 4 sposoby. W tym przypadku mamy więc

5⋅8 ⋅4

zdarzeń sprzyjających.

Obliczmy teraz, ile jest zdarzeń, w których na jednym piętrze wysiadło 6 osób. Numer tego piętra możemy wybrać na 5 sposobów, do tego wybieramy 6 osób, które mają na nim wysiąść – możemy to zrobić na

( 8) ( 8) 8 ⋅7 = = ---- = 2 8 6 2 2

sposobów. To jeszcze nie koniec, bo musimy dla każdej z pozostałych dwóch osób wybrać jedno z czterech pięter, na których wysiądą – możemy to zrobić na 4 ⋅4 = 16 sposobów. W sumie jest więc

5⋅28 ⋅16

zdarzeń tego typu i prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia jest równe

5+--5⋅8-⋅4-+-5-⋅28-⋅16- 1+--32+--448- -481-- 58 = 57 = 78125 .

 
Odpowiedź: -481- 78125

Wersja PDF