/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Kąty w trójkącie

Zadanie nr 6768127

Wyznacz długości boków trójkąta wiedząc, że są one kolejnymi liczbami naturalnymi zaś największy kąt jest dwa razy większy od kąta najmniejszego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy długość boku leżącego naprzeciwko α przez x .

PIC

Ponieważ naprzeciwko największego kąta leży najdłuższy bok, to bok naprzeciwko 2α ma długość x+ 2 , a trzeci z boków długość x + 1 . Na mocy twierdzenia sinusów mamy

--x-- -x+--2 sinα = sin 2α x x + 2 ----- = ------------ sinα 2 sinα cos α co sα = x+--2. 2x

Z drugiej strony, na mocy twierdzenia cosinusów

2 2 2 x = (x + 1 ) + (x + 2 ) − 2(x + 1 )(x+ 2)cos α 0 = (x + 1 )2 + ((x + 2)2 − x2) − 2(x + 1)(x + 2)cos α 0 = (x + 1 )2 + 2(2x + 2)− 2(x+ 1)(x + 2)co sα 2 0 = (x + 1 ) + 4(x + 1 )− 2 (x + 1)(x+ 2)cos α / : (x+ 1) 0 = x + 1 + 4 − 2(x + 2 )cos α / : (2 (x+ 2)) x + 5 co sα = ------. 2x + 4

Porównując wyliczone wartości cos α otrzymujemy

x + 2 x+ 5 ------= ------- 2x 2x + 4 x-+-2-= x-+-5- x x + 2 (x + 2)2 = x (x+ 5) x2 + 4x + 4 = x2 + 5x x = 4 .

 
Odpowiedź: 4,5,6

Wersja PDF