/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 1676180

Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS , w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 ∘ , a krawędź boczna ma długość √ -- 2 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość SD ściany bocznej ostrosłupa.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Mamy zatem

√ -- √ -- 1- 1- a---3 a---3 DE = 3DB = 3 ⋅ 2 = 6 √ -- DE--= cos6 0∘ = 1- ⇒ DS = 2DE = a--3-. DS 2 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BDS .

2 2 2 BD + DS = BS ( )2 ( √ --) 2 a- + a--3- = 28 2 3 2 2 a-+ a--= 28 4 3 7a2 √ -- ----= 2 8 ⇒ a2 = 4 ⋅12 ⇒ a = 4 3. 12

Obliczamy jeszcze wysokość ostrosłupa.

a√ 3- 4√ 3-⋅√ 3- DS = -----= ----------= 4 3 √ 3- √ -- H ∘ 3 3 √ -- DS--= sin 60 = -2-- ⇒ H = -2--⋅4 = 2 3.

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa.

√ -- √ -- 1 1 a2 3 1 48 3 √ -- V = -Pp ⋅H = -⋅ ------⋅H = --⋅ ------⋅2 3 = 24 . 3 3 4 3 4

 
Odpowiedź: V = 24

Wersja PDF