/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 3201195

Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS , w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 ∘ , a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość SD ściany bocznej ostrosłupa.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Mamy zatem

√ -- √ -- 1- 1- a--3- a---3 DE = 3DC = 3 ⋅ 2 = 6 √ -- DE--= cos6 0∘ = 1- ⇒ DS = 2DE = a--3-. DS 2 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BDS .

2 2 2 BD + DS = BS ( ) 2 ( √ -) 2 a- + a--3- = 49 2 3 2 2 a--+ a--= 49 4 3 7a2 √ --- ----= 49 ⇒ a2 = 7 ⋅12 ⇒ a = 2 21. 12

Obliczamy jeszcze wysokość ostrosłupa.

a √ 3- 6√ 7- √ -- DS = ----- = ----- = 2 7 3 3√ -- √ -- H ∘ 3 3 √ -- √ --- DS--= sin 60 = -2-- ⇒ H = -2--⋅2 7 = 21.

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa.

√ -- √ -- 1 1 a2 3 1 4⋅ 21⋅ 3 √ --- √ -- V = --Pp ⋅H = --⋅------⋅H = -⋅ ----------⋅ 2 1 = 21 7. 3 3 4 3 4

 
Odpowiedź: √ -- V = 21 7

Wersja PDF