Zadanie nr 2023314

Możemy dokładnie narysować podane okręgi (cyrklem) i sprawdzić jakie jest ich wzajemne położenie. Czasami jednak trudno jest z rysunku ustalić dokładne położenie i dlatego skupimy się na metodach rachunkowych.

Najwygodniej jest skorzystać z następującej charakteryzacji wzajemnego położenia dwóch okręgów o środkach i promieniach .

• Jeżeli lub to okręgi są rozłączne (nie przecinają się)
• Jeżeli lub to okręgi są styczne (przecinają się w jednym punkcie)
• Jeżeli to okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Jeżeli promienie okręgów są równe, to jest jeden dodatkowy wyjątek: jeżeli to okręgi pokrywają się.

Pierwszy okrąg ma środek i promień 5, drugi ma środek i promień 3.

Mamy więc

Zatem okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Zadanie można też rozwiązać czysto algebraicznie.

Musimy sprawdzić ile rozwiązań ma układ równań

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

Podstawimy teraz tę wartość do drugiego równania.

Skoro równanie ma dwa rozwiązania, to okręgi przecinają się w dwóch punktach.  
Odpowiedź: Okręgi przecinają się w dwóch punktach.