Zadanie nr 9642655

Dane są wierzchołki trójkąta ABC : A(2 ,2) , B(9 ,5) i C(3,9) . Z wierzchołka poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok w punkcie . Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt i równoległej do boku .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Aby wyznaczyć współrzędne punktu wyznaczamy najpierw równania prostych i . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 2 = 2a+ b 5 = 9a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) i mamy 7a = 3 , czyli a = 3 7 . Z pierwszego równania mamy więc

6- 8- b = 2 − 2a = 2− 7 = 7

i prosta ma równanie y = 37 x+ 87 .

Prosta jest prostopadła do , więc ma równanie postaci y = − 7x + b 3 . Aby obliczyć podstawiamy w tym równaniu współrzędne punktu .

7 9 = − --⋅3 + b = − 7+ b ⇒ b = 16. 3

Szukamy teraz punktu wspólnego prostych i .

{ 3 8 y = 7x + 7 y = − 73x + 16 .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy

3- 7- 8- 0 = 7x + 3x + 7 − 1 6 8 9 + 4 9 1 6− --= -------x 7 2 1 112−--8- 58- 21- 7 = 21x / ⋅ 2 15 6 1 56 = 29x ⇒ x = ----. 29

Z drugiego równania układu mamy

7- 156- −-364- 100- y = − 3 ⋅ 29 + 16 = 29 + 16 = 2 9 .

Zatem ( ) D = 156, 100- 29 29 .

Szukamy teraz równania prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 5 = 9a+ b 9 = 3a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy − 4 = 6a . Stąd 2 a = − 3 . Współczynnika nie obliczamy, bo nie jest nam potrzebny.

Szukana prosta równoległa do i przechodząca przez ma taki sam współczynnik kierunkowy jak prosta , więc jest postaci 2 y = − 3x + b . Współczynnik obliczamy podstawiając współrzędne punktu .