/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 1562603

Krótsza podstawa trapezu ma długość 2, a ramiona długości √ -- 2 2 i 4 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 45∘ i 30∘ . Oblicz pole trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że trójkąt AED jest połówką kwadratu o boku 2, więc jego pole jest równe

1- PAED = 2 ⋅2 ⋅2 = 2 .

Ponadto ED = 2 i

PEFCD = 2 ⋅2 = 4.

Patrzymy teraz na trójkąt FBC – jest to połówka trójkąta równobocznego o boku 4, więc jego pole jest równe

√ -- 1 42 ⋅ 3 √ -- PFBC = --⋅------- = 2 3. 2 4

Pole trapezu jest więc równe

√ -- √ -- PABCD = PAED + PEFCD + PFBC = 2 + 4 + 2 3 = 6+ 2 3.

Sposób II

Patrzymy najpierw na trójkąt prostokątny AED – możemy z niego wyliczyć długości odcinków ED = h i AE .

h √ 2- √ 2- √ -- -√---= sin 45∘ = ---- ⇒ h = ----⋅2 2 = 2. 2 2 2 2 AE √ 2- √ 2- √ -- -√---= cos45∘ = ---- ⇒ AE = ----⋅2 2 = 2. 2 2 2 2

Podobnie, korzystając z trójkąta FBC wyliczamy długość odcinka F B .

√ -- √ -- FB- ∘ --3- --3- √ -- 4 = cos 30 = 2 ⇒ FB = 2 ⋅4 = 2 3.

Zatem

√ -- √ -- AB = AE + EF + F B = 2 + 2 + 2 3 = 4+ 2 3

i pole trapezu jest równe

√ -- √ -- P = AB--+-CD--⋅h = 4+--2--3-+-2-⋅2 = 6 + 2 3. 2 2

 
Odpowiedź: √ -- 6 + 2 3

Wersja PDF