/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny/Z przekątną

Zadanie nr 9592605

Dany jest trapez prostokątny ABCD , gdzie ∘ |∡DAB | = 90 , ∘ |∡ABD | = 30 , AB ∥ DC , √ -- |DB | = 2( 3 + 1) i |DC | = 2 .

  • Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt BDA .
  • Wyznacz sumę kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trapezu ABCD .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

  • Obliczmy boki trójkąta ABD .
    AD 1 √ -- ---- = sin 30∘ = -- ⇒ AD = 3+ 1 BD 2√ -- AB ∘ 3 √ -- BD--= cos 30 = -2-- ⇒ AB = 3 + 3 .

    Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole P = pr , gdzie p jest połową obwodu trójkąta.

    P 12AD ⋅AB r = p-= 1-------------------= 2√(AD + AB +√ BD ) √ -- ( 3+ 1)(3+ 3) 6 + 4 3 = √-------------√------√-------= ------√---= 1. 3+ 1+ 3+ 3+ 2 3+ 2 6 + 4 3

     
    Odpowiedź: 1

  •  

    Sposób I

    Z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD obliczymy długość odcinka BC , a to pozwoli nam (z twierdzenia sinusów) obliczyć sinα . Liczymy

    CB 2 = DC 2 + DB 2 − 2DC ⋅DB cos3 0∘ = √ -- √ -- √ -- = 4 + 12 + 8 3+ 4 − 4 ⋅( 3 + 1) 3 = √ -- √ -- √ -- = 20 + 8 3− 12− 4 3 = 8 + 4 3.

    Zatem z twierdzenia sinusów

    DB BC ----- = -----∘- sin α sin 30 √ -- √ -- 2 -DB-2- 4(3-+-2--3-+-1-) 4-+-2--3- 1- sin α = 4BC 2 = √ -- = √ --= 2. 4(8 + 4 3 ) 8 + 4 3

    Zatem szukana suma kwadratów sinusów kątów trapezu jest równa.

    sin2 ∡A + sin2∡B + sin2 ∡C + sin 2∡D = = 1 + sin2(180∘ − α )+ sin2 α+ 1 = 2 + 2sin2 α = 2 + 1 = 3 .

    Sposób II

    Tym razem obejdziemy się bez twierdzeń cosinusów i sinusów. Dorysujmy wysokość CE trapezu. Mamy wtedy

    √ -- √ -- BE = AB − CD = 3+ 3− 2 = 1 + 3 AD-- ∘ 1- √ -- √ -- BD = sin3 0 ⇒ CE = AD = 2 ⋅2( 3 + 1 ) = 3+ 1.

    To oznacza, że trójkąt prostokątny BCE jest równoramienny, więc ∘ ∡B = 45 i ∘ ∡C = 135 . Interesująca nas suma kwadratów sinusów jest więc równa

    sin2 ∡A + sin2∡B + sin2 ∡C + sin 2∡D = = 1 + 1-+ sin2(1 80∘ − 45∘)+ 1 = 5-+ sin2 45∘ = 5-+ 1-= 3 . 2 2 2 2

     
    Odpowiedź: 3

Wersja PDF