/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 1096964

Punkty A = (0,4) i B = (6,0) są końcami odcinka AB . Prosta y = x przecina odcinek AB w punkcie C . Oblicz stosunek |AC| |CB| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku – zauważmy, że dana prosta jest dwusieczną kąta prostego AOB .

PIC

Sposób I

Prowadzimy odcinki jak na rysunku (niebieskie odcinki). Na mocy twierdzenia Talesa dorysowane odcinki dzielą odcinek AC na 4 równe części, a odcinek CB na 6 równych części. Zatem stosunek długości odcinków jest równy

4 2 --= --. 6 3

Sposób II

Wyznaczamy równanie prostej y = ax + b przechodzącej przez punkty A i B

{ { 4 = 0 ⋅a + b = b b = 4 ⇒ 2 0 = 6a + 4 a = − 3

Zatem prosta AB ma równanie y = − 23x + 4 . Obliczamy jej punkt przecięcia z prostą y = x – podstawiamy y = x do powyższego równania.

x = − 2-x + 4 3 5- 3- 3 x = 4 / ⋅ 5 12 x = --. 5

Stad (12 12) C = 5 , 5 i odcinki AC i CB mają długości:

∘ (-------)-2---(-------)-2- ∘ ---------- √ --- 12- 12- 144- 6-4 4--1-3 |AC | = 0− 5 + 4− 5 = 25 + 2 5 = 5 ∘ -------------------------- ∘ ----------- √ --- ( 12) 2 ( 1 2) 2 3 24 144 6 13 |CB | = 6 − --- + 0 − --- = ----+ ----= ------. 5 5 25 25 5

Zatem

√ -- |AC | 4--13 2 -----= -√5-- = --. |CB | 6-513 3

Sposób III

Na mocy twierdzenia o dwusiecznej mamy

AC--= AO--= 4-= 2. BC OB 6 3

 
Odpowiedź: 23

Wersja PDF