Zadanie nr 2050450

Dane są punkty A (−2 ,5),B(3,− 5) . Punkt należy do okręgu o równaniu (x + 2)2 + y2 = 2 5 . Znajdź współrzędne punktu tak, aby pole trójkąta ABC było największe. Oblicz to pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

Korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA) − (yB − yA )(x − xA ) = 0

wyznaczamy równanie prostej

(y − 5) ⋅5 + 10(x + 2) = 0 / : 5 y − 5 + 2x + 4 = 0 y = − 2x + 1

Ponieważ bok szukanego trójkąta jest ustalony i ma długość

∘ --------- √ ---- √ -- AB = 52 + 102 = 12 5 = 5 5,

więc musimy znaleźć na okręgu punkt, którego odległość od prostej jest największa. Powinno być jasne, że taki punkt otrzymamy przecinając okrąg z prostą prostopadłą do i przechodzącą przez środek okręgu (mówiąc inaczej, szukamy punktów, w których styczna do okręgu jest równoległa do ).

Ponieważ prosta ma być prostopadła do , musi to być prosta postaci y = 1x + b 2 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu S = (− 2,0) .

1 0 = --⋅(− 2) + b ⇒ b = 1. 2

Szukamy teraz punktów wspólnych prostej y = 1x + 1 2 z danym okręgiem (wstawiamy do równania okręgu).

( )2 (x + 2)2 + 1x + 1 = 2 5 2 1 (x + 2)2 + --(x+ 2)2 = 25 4 5-(x+ 2)2 = 25 4 (x + 2)2 = 2 0 √ -- x = − 2± 2 5.

Daje to nam dwa punkty √ -- √ -- E = (− 2 − 2 5,− 5) i √ --√ -- F = (− 2+ 2 5, 5) Widać z obrazka, że interesujący nas punkt to , ale jeżeli nie zrobiliśmy obrazka, lub nie jest on zbyt dokładny, to możemy sprawdzić, który z nich jest dalej od prostej AB : y+ 2x− 1 = 0 ze wzoru na odległość punktu od prostej.