/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 1277427

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 20x2 − 24mx + 1 8m 2 ≥ 4x+ 12m − 5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszemy daną nierówność w postaci

2 2 20x − 4(6m + 1)x + (18m − 12m + 5) ≥ 0,

to widać, że mamy do czynienia ze zwykłą nierównością kwadratową. Ramiona paraboli będącej wykresem lewej strony są skierowane w górę, więc wystarczy pokazać, że Δ ≤ 0 . Liczymy

Δ = 16(6m + 1)2 − 4 ⋅20(18m 2 − 12m + 5) = 2 2 = 16(36m + 12m + 1) − 16(90m − 60m + 25) = = 16(− 54m 2 + 72m − 24) = − 16 ⋅6(9m 2 − 12m + 4) = = − 16 ⋅6(3m − 2)2.

Widać teraz, że rzeczywiście Δ ≤ 0 .

Wersja PDF