Zadanie nr 8744559

Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną wynosi . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą środki dwóch sąsiednich boków podstawy i środek wysokości ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jest to jedno z tych zadań, że dobry rysunek w zasadzie załatwia sprawę.

Jeżeli oznaczymy krawędź podstawy przez , a krawędź boczną przez to pierwsza informacja mówi nam, że

√ -- 1- 1- √ -- b- ab---2 x = 2AC ⋅F E = 2 ⋅ a 2⋅ 2 = 4 .

Powyżej skorzystaliśmy z tego, że FE = 1DS 2 – a tak jest na mocy twierdzenia Talesa w trójkącie DBS .

Czas zająć się drugim przekrojem. Na początku może być ciężko, ale jak trochę sobie porysujemy, to widać, że wyjdzie pewien pięciokąt P QRW U . Spróbujmy ustalić gdzie dokładnie są jego wierzchołki. Ponieważ odcinek łączy środki boków w trójkącie F BS , więc jest równoległy do krawędzi . Zatem cały przekrój jest równoległy do tej krawędzi, w szczególności odcinki P U i muszą być do niej równoległe, czyli czworokąt P QRU jest prostokątem. Ponieważ i są środkami krawędzi i to

P U = QR = BS- = b. 2 2

Policzmy od razu pole prostokąta P QRU :

√ -- √ -- P = P Q ⋅P U = a--2-⋅ b-= ab--2-= x. PQRU 2 2 4

Pozostało się zająć trójkątem URW . Jego podstawa ma długość

√ -- UR = P Q = a--2-. 2

Aby wyznaczyć jego wysokość , połączmy ze sobą środki i krawędzi i . W powstałym trójkącie KLS odcinek przechodzi przez środek boku i jest równoległy do (bo już wcześniej ustaliliśmy, że i są równoległe). Zatem