/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup

Zadanie nr 1532036

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD , w którym ∘ |∡DAB | = 60 . Krawędź SA jest wysokością ostrosłupa oraz jej długość jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany SBC do płaszczyzny podstawy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najtrudniejsze w tym zadaniu jest wykonanie odpowiedniego rysunku, tak aby prawidłowo zaznaczyć kąt nachylenia ściany SBC do płaszczyzny podstawy.

PIC

Aby móc zaznaczyć kąt nachylenia ściany SBC do płaszczyzny podstawy musimy narysować płaszczyznę prostopadłą do prostej BC (czyli wspólnej krawędzi płaszczyzn: SBC i ABCD ). Taką płaszczyzną jest płaszczyzna SAE , gdzie E jest rzutem punktu A na prostą BC . Rzeczywiście, płaszczyzna ta zwiera dwie nierównoległe proste: AE i AS prostopadłe do BC . Jest więc prostopadła do BC .

Po wykonaniu dobrego rysunku rachunki są już bardzo proste. Z trójkąta prostokątnego AEB mamy

√ -- √ -- AE ∘ 3 a 3 ----= sin 60 = ---- ⇒ AE = -----. AB 2 2

W trójkącie prostokątnym AES mamy

∘ --------- √ -- ∘ ------------ 3 a 7 SE = SA 2 + AE 2 = a2 + -a 2 = ----. 4 2

Stąd

SA a 2 2√ 7- sinα = ----= -√--= √---= ----. SE a-7- 7 7 2

 
Odpowiedź: - 2√-7 7

Wersja PDF