/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup

Zadanie nr 8636937

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości a , a krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa jeżeli cosinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa jest równy − 1 5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy ostrosłup.

PIC

Zauważmy, że krawędź AB jest prostopadła do AD i do DS (bo jest równoległa do DC ). To oznacza, że krawędź AB jest prostopadła do płaszczyzny ADS . Jest więc prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności trójkąt ABS jest prostokątny. Analogicznie wykazujemy, że trójkąt BCS jest prostokątny.

Aby zaznaczyć kąt między ścianami ABS i CBS ostrosłupa dorysowujemy wysokości AE i CE ścian bocznych (płaszczyzna AEC jest prostopadła do krawędzi wspólnej BS ścian ABS i CBS , więc kąt AEC jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).

Obliczymy teraz długość wysokości AE trójkąta ABS . W tym celu piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie równoramiennym ACE .

( ) 2 2 2 2 2 1- AC = AE + CE − 2AE ⋅CE co sα = 2AE − 2AE ⋅ − 5 √ -- 2a 2 = 12AE 2 ⇒ AE = √-5a. 5 6

Oznaczmy teraz przez h = SD wysokość ostrosłupa. Jak wcześniej zauważyliśmy trójkąt ABS jest prostokątny. Obliczmy długości jego boków SA i SB .

∘ ------------ ∘ -------- SA = SD 2 + AD 2 = h2 + a2 ∘ ------------ ∘ --------- SB = SD 2 + DB 2 = h 2 + 2a 2.

Porównujemy teraz dwa wzory na pole trójkąta ABS (inny sposób to skorzystanie z podobieństwa trójkątów ABS i EBA ).

AB ⋅SA = 2PABS = SB ⋅AE ∘ -------- ∘ --------- √ 5- √ 6- a ⋅ h2 + a 2 = h2 + 2a2 ⋅√--a / ⋅---- 6 a √ --∘ -2----2- √ -- ∘ -2-----2- 2 6⋅ h + a = 5⋅ h + 2a / () 6h 2 + 6a2 = 5h2 + 10a2 ⇒ h2 = 4a2 ⇒ h = 2a.

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa

1- 1- 2 2-3 V = 3 PABCD ⋅ h = 3 a ⋅2a = 3a .

 
Odpowiedź: 2a 3 3

Wersja PDF