/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy

Zadanie nr 7485369

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej x f(x) = a dla x ∈ R .

PIC

Wykres ten przekształcono w symetrii środkowej względem punktu (1,− 1) , a następnie w symetrii osiowej względem prostej x = − 2 . Otrzymano w ten sposób wykres funkcji g(x) = b ⋅ax + c .

  • Wyznacz liczby a,b,c i naszkicuj wykres funkcji y = g(x ) .
  • Odczytaj z wykresu rozwiązanie nierówności g(x) ≤ − 5 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpocznijmy od wyznaczenia a . Z wykresu widzimy, że f(− 1) = 3 , czyli

3 = a−1 = 1- ⇐ ⇒ a = 1. a 3
  • Szukamy funkcji postaci y = b3x-+ c , więc wystarczy znaleźć dwa punkty na jej wykresie, aby wyznaczyć b i c (mamy dwie niewiadome, więc potrzebujemy dwóch równań). Można wybrać różne punkty – my zobaczymy na co przejdą punkty A = (0,1) i B = (− 1,3) .
    PIC

    Najpierw symetria środkowa względem punktu (1,− 1) . Szukamy punktów ′ A i ′ B takich, żeby punkt (1,− 1) był środkiem odcinków AA ′ i BB ′ .

    ( ) (1,− 1) = 0-+-xA-′, 1-+-yA′ ⇒ A′ = (2,− 3) 2 2 ( ′ ′) (1,− 1) = −-1-+-xB-, 3+--yB- ⇒ B′ = (3,− 5). 2 2

    Teraz znajdujemy obrazy A ′′ i B ′′ punktów A′ i B ′ w symetrii względem prostej x = − 2 . Punkty te będą miały takie same drugie współrzędne jak punkty ′ A i ′ B , a ich pierwsze współrzędne muszą być takie, żeby środki odcinków A ′A ′′ i B ′B′′ leżały na prostej x = − 2 . Mamy więc

    xA ′ + xA ′′ 2 + xA ′′ ′′ − 2 = ---------- = -------- ⇒ A = (− 6,− 3) 2 2 − 2 = xB′ +-xB′′= 3+--xB′′ ⇒ B′′ = (− 7,− 5). 2 2

    Teraz łatwo wyznaczyć liczby b i c – podstawiamy współrzędne punktów A′′ i B′′ do wzoru funkcji g .

    ( ( ) −6 |{ − 3 = b ⋅ 1 + c = b ⋅36 + c (3) −7 |( − 5 = b ⋅ 1 + c = b ⋅37 + c. 3

    Porównując c z obu równań mamy

    6 7 b⋅ 3 + 3 = b⋅ 3 + 5 − 2 = b ⋅36(3− 1) − 1 = b ⋅36 ⇒ b = − -1-. 3 6

    Zatem

    6 c = − 3− b⋅3 = − 3+ 1 = − 2.

     
    Odpowiedź: (a,b,c) = (1,− -1-,− 2) 3 729

  • Ponieważ
    ( ) g(x ) = − 1--⋅ 1-− 2 = − -1---+ 2 , 36 3x 3x+6

    wykres funkcji g(x) powstaje z wykresu funkcji y = -1 3x przez przesunięcie o wektor [− 6,2] , a następnie odbicie względem osi Ox . Bez trudu szkicujemy wykres.

    Z wykresu widać, że rozwiązaniem nierówności g(x) ≤ − 5 jest przedział (− ∞ ,− 7⟩ .  
    Odpowiedź: (− ∞ ,−7 ⟩

Wersja PDF