/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 1835457

Podstawą graniastosłupa ABCDEF GH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego dłuższy bok ma długość 6. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego krótszym bokiem kąt 6 0∘ . Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 45∘ stopni. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od zaznaczenia na rysunku podanych kątów.

PIC

Z trójkąta prostokątnego ABD obliczamy długość a drugiej krawędzi podstawy.

√ -- √ -- 6-= tg 60∘ = 3 ⇒ a = √6--= 2 3. a 3

Obliczmy jeszcze długość przekątnej podstawy

∘ ------------- 2 √ --2 √ -------- √ --- √ -- DB = 6 + (2 3) = 36+ 12 = 48 = 4 3.

Z trójkąta prostokątnego DBH obliczamy długość wysokości graniastosłupa.

h √ -- ----= tg 45∘ = 1 ⇒ h = 4 3. DB

Pozostało obliczyć objętość graniastosłupa.

√ -- √ -- V = 6⋅ 2 3⋅ 4 3 = 12 ⋅4 ⋅3 = 144.

 
Odpowiedź: 144

Wersja PDF