/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 3950154

Przekątna prostopadłościanu ma długość 12 cm, a miara kąta, jaki tworzy ona ze ścianą boczną wynosi 60∘ . Oblicz objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi √ -- 2 5 cm .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Mając podaną długość przekątnej, oraz kąt ∡A ′BD ′ , z trójkąta prostokątnego A ′BD ′ wyliczamy długości odcinków A ′D′ i A ′B .

{ ′ ′ ABDD′ = sin 60∘ A′B- ∘ { BD ′ = c√os60 A′D′ = --3 1′2 2 A1B2-= 12 { ′ ′ √ -- A D = 6 3 A ′B = 6.

Potrzebujemy jeszcze długość krawędzi ′ ′ A B – wyliczymy ją z trójkąta prostokątnego ′ ′ A B B .

′ ′ ∘ --′-2----′--2 A B = A--B--−-B-B-- ∘ √ -- = 62 − (2 5)2 √ -------- √ --- = 36 − 20 = 16 = 4.

Pozostało policzyć objętość

′ ′ ′ ′ ′ √ -- √ -- √ --- V = A B ⋅A D ⋅B B = 4⋅6 3 ⋅2 5 = 48 15.

 
Odpowiedź: √ --- 48 1 5 cm 3

Wersja PDF