/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny

Zadanie nr 2862662

W trójkącie dwa boki mają długość 3 cm i 4 cm. Długość trzeciego boku jest większa od długości dwóch pozostałych boków. Długości wysokości w tym trójkącie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz pole tego trójkąta oraz długości promieni okręgów: wpisanego w ten trójkąt i opisanego na tym trójkącie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ iloczyn długości boku i opuszczonej na niego wysokości jest równy podwojonemu polu P trójkąta, więc jeżeli oznaczymy przez a = 3 , b = 4 i c boki trójkąta oraz ha , hb i hc opuszczone na nie wysokości, to ha > hb > hc .

PIC

Zatem z informacji o tym, że liczby ha , hb i hc tworzą ciąg arytmetyczny mamy

2hb = ha + hc 2P 2P 2P 2 ⋅---= --- + --- b a c 2-= 1-+ 1- b a c 2- 1- 1- 4 = 3 + c c = 6.

Pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru Herona.

∘ ----------------------- ∘ ------------- √ ---- P = p (p− a)(p − b)(p − c) = 13-⋅ 7-⋅ 5-⋅ 1-=-4-55. 2 2 2 2 4

Promienie okręgów wpisanego i opisanego możemy wyliczyć ze wzorów na pole P = pr = abc- 4R .

√--- P -455- √ 455- r = -- = --4-- = ------ p 123 26 √ ---- R = abc-= √-72--= 72---455. 4P 455 45 5

 
Odpowiedź: √-455- 2 P = 4 cm , √455- r = 26 cm , √ --- R = 72--455 cm 455

Wersja PDF