/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny

Zadanie nr 3074601

Niech an , dla n ≥ 3 będzie liczbą krawędzi graniastosłupa prostego o podstawie będącej n -kątem foremnym.

  • Wyznacz wzór ciągu (an ) .
  • Sprawdź czy ciąg (a ) n jest ciągiem arytmetycznym.
  • Uzasadnij, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy 2009.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Szkicujemy sobie taki graniastosłup.
    PIC

    Widać, że ma on n krawędzi w podstawie, n w drugiej podstawie i n krawędzi bocznych. Mamy więc

    an = 3n.

     
    Odpowiedź: a = 3n n dla n ≥ 3

  • Musimy sprawdzić, czy różnica kolejnych wyrazów nie zależy od n (jest stała). Liczymy
    an+1 − an = 3(n + 1)− 3n = 3 .

    Różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny.  
    Odpowiedź: Tak, jest arytmetyczny.

  • Ze wzoru an = 3n wynika, że każdy wyraz ciągu an dzieli się przez 3. Tymczasem 2009 nie dzieli się przez 3 (bo suma cyfr jest równa 11).
Wersja PDF