Zadanie nr 1988835

Wazon ma kształt sześcianu, w którym wydrążony jest walec w taki sposób, że styczne górnej podstawy walca, równoległe do odpowiednich krawędzi górnej podstawy sześcianu, są odległe o 1 cm od tych krawędzi; natomiast odległość między dolną podstawą walca, a dolną podstawą sześcianu (grubość dna) jest równa 2 cm.

Wiedząc, że stosunek objętości walca do objętości sześcianu jest równy 272π56 , oblicz

długość krawędzi sześcianu;
objętość walca;
do jakiej wysokości wazonu (licząc od dolnej podstawy walca) będzie sięgać poziom wody, jeśli wlejemy do wazonu 125 ml wody. Wynik podaj z dokładnością do 1 mm.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy promień podstawy walca przez . W takim razie długość krawędzi sześcianu jest równa
$a = 2r + 2,$

a wysokość walca

$H = a− 2 = 2r.$

Mamy więc równanie.

$2 2 27π- = πr--⋅-H-= -πr--⋅2r- 256 a3 (2r + 2)3 2 7 r3 ----= --------3 512 (2r+ 2) ( 3) 3 ( r ) 3 -- = ------- 8 2r + 2 3- --r---- 8 = 2r+ 2 6r+ 6 = 8r ⇒ 2r = 6 ⇒ r = 3.$

Zatem krawędź sześcianu ma długość

$a = 2r + 2 = 8 .$

Odpowiedź: 8 cm
Liczymy
$2 3 V = πr ⋅H = 2πr = 54π .$

Odpowiedź:
Jeżeli oznaczmy szukaną wysokość przez to mamy równanie ()
$πr 2 ⋅ x = 125 125 x = ----≈ 4,42. 9π$

Odpowiedź: 4,42 cm