/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Geometryczne

Zadanie nr 2309532

Ze środka górnej ściany sześcianu wypuszczono promień świetlny, który odbija się od ścian sześcianu zgodnie z zasadą „kąt padania jest równy kątowi odbicia”. Promień porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do jednej ze ścian sześcianu oraz został wypuszczony pod kątem α > 0 wględem prostej prostopadłej do górnej ściany sześcianu i przechodzącej przez jej środek. Dla jakich wartości sin α promień odbije się od bocznej ściany sześcianu, a potem trafi w dolną ścianę sześcianu?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy sobie przekrój sześcianu płaszczyzną, w której porusza się promień i oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a .


PIC


Jak się chwilę zastanowimy to widać, że są dwie skrajne sytuacje: gdy promień po odbiciu od bocznej ściany trafia w wierzchołek B , oraz gdy promień od razu trafia w wierzchołek A . Spróbujemy ustalić jakie są sinusy tych skrajnych kątów β i γ .

Zauważmy, że trójkąty ABE i DF E są podobne, oraz ich skala podobieństwa wynosi

AB--= 2 DF

Zatem

 2 2 AE = -AD = -a 3 3 ∘ --------- ∘ ----- √ --- ∘ ---2------2- 2 4-2 13- 2 --13a- BE = AB + AE = a + 9a = 9 a = 3 √ --- sin β = AB--= √a---= √-3--= 3--13-. BE --13a- 13 1 3 3

Teraz zajmijmy się kątem γ . Mamy

 ------------- ∘ -------- ∘ ---- √ -- ∘ 2 2 2 a2- 5a2- --5a- AG = AD + DG = a + 4 = 4 = 2 1 √ -- sin γ = DG--= √2a- = --5. AG --5a 5 2

Kąt α musi być pomiędzy γ a β , zatem

√ -- √ --- --5-≤ sin α ≤ 3--1-3. 5 13

 
Odpowiedź: √- √ -- 55-≤ sin α ≤ 31313-

Wersja PDF
spinner