/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek

Zadanie nr 1849768

Metalowy walec o objętości 3 1458π cm i przekroju będącym kwadratem przetopiono na stożek o takim samym promieniu podstawy, co walec. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej otrzymanego stożka do pola powierzchni bocznej wyjściowego walca.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy walec i stożek.

PIC

Jeżeli przez r oznaczymy promień podstawy walca i stożka, to wysokość walca jest równa 2r i z podanej objętości mamy

πr 2 ⋅2r = 1458π / : 2 π 3 3 r = 729 = 9 ⇒ r = 9.

Objętości stożka i walca są równe, więc jeżeli przez H oznaczymy wysokość stożka, to mamy

14 58π = 1πr 2H = 27πH / : 27π 3 54 = H .

Obliczamy teraz długość tworzącej stożka.

∘ ----------- ∘ -2-----2 ∘ -2-----2- 2 2 √ --- l = r + H = 9 + 54 = 9 (1 + 6 ) = 9 37 .

Pole powierzchni bocznej stożka jest więc równe

√ --- P1 = πrl = 81 37π .

Pole powierzchni bocznej walca jest równe

P 2 = 2πr ⋅2r = 4 ⋅81π .

Interesujący nas stosunek pól jest więc równy

√ --- √ --- P1-= 8-1--37π- = --3-7. P2 4 ⋅81π 4

 
Odpowiedź: √ -- --37 4

Wersja PDF