/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek

Zadanie nr 2048457

Tworząca stożka o kącie rozwarcia α ma długość 6. Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe 27π . Oblicz objętość stożka oraz miarę kąta α .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Wykorzystajmy najpierw podaną informację o polu powierzchni całkowitej.

27π = Pc = πr 2 + πrl = πr 2 + 6 πr / : π 2 0 = r + 6r− 27 Δ = 36+ 108 = 14 4 − 6 − 12 − 6+ 12 r = ---------= − 9 lub r = ---------= 3 . 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy r = 3 . Stąd

α r 3 1 sin --= -= --= -. 2 l 6 2

Stąd α = 3 0∘ 2 i α = 60∘ .

Pozostało obliczyć objętość stożka.

∘ -2----2 √ ------- √ --- √ -- h = 6 − 3 = 36 − 9 = 27 = 3 3 1- 2 1- √ -- √ -- V = 3πr ⋅h = 3π ⋅ 9⋅3 3 = 9 3π .

 
Odpowiedź: V = 9√ 3-π , α = 60∘

Wersja PDF