/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek

Zadanie nr 5005441

Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem kołowym o kącie środkowym α . Kąt ten oparty jest na cięciwie o długości a . Oblicz objętość stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i jego rozwinięcie.

PIC

Mamy

a 2-= sin α- l 2 --a---- l = 2sin α. 2

Promień podstawy możemy policzyć z długości łuku odciętego przez daną cięciwę.

-α- 2πr = 2π ⋅2 πl α α a aα r = ---⋅ l = ---⋅ -----α-= ------α-. 2π 2π 2sin 2 4π sin 2

Wysokość wyliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

∘ ------- ∘ ------2-- ∘ --------- h = l2 − r2 = l 1 − -α-- = ---a---- 4π 2 − α2. 4π 2 4π sin α2

Pozostało policzyć szukaną objętość

( ) 2 ∘ --------- V = 1πr 2h = 1-π ---aα--- ⋅----a--- 4π 2 − α2 = 3 3 4π sin α2 4 π sin α2 a3α2 ∘ --------- = ------------- 4π2 − α2. 192π 2sin3 α2

 
Odpowiedź: √ --------- ----a3α2--- 4π 2 − α2 192π2sin3 α2

Wersja PDF