Zadanie nr 6727713

W stożek w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku. Od razu narysujmy sobie przekrój opisanej sytuacji.

Musimy jakoś wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Zrobimy to na dwa sposoby, ale wcześniej zauważmy, że mamy równości

CS-- AS = tg 2α ⇒ CS = r tg 2α AS r ----= cos2α ⇒ AC = ------. AC cos2α

Obliczmy jeszcze objętość stożka (w zależności od i ).

1 2 1 3 V = -πr ⋅CS = -πr tg2 α. 3 3

Sposób I

Standardowy sposób wyznaczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt to wzór na pole P = 1(a + b + c)r 2 . Żeby nie mylić z promieniem podstawy stożka, oznaczmy promień kuli wpisanej w stożek przez . Mamy zatem

2P AB ⋅SC 2r⋅r tg 2α rsin 2α R = ---ABC- = --------= --------r---= ---------- 2r + 2l 2r + 2l 2r + 2cos2α cos2α + 1

Zatem objetość kuli wynosi

4 4 ( rsin 2α ) 3 4 r3sin3 2α --πR 3 = --π ---------- = -π ------------3. 3 3 cos2α + 1 3 (cos 2α + 1)

Zatem szukany iloraz jest równy

1 3 3 -3πr--tg-2α--= ---tg-2α----= tg2-α(cos2-α+--1)-. 4π -r3sin32α-- 4--sin32α--- 4sin3 2α 3 (cos2α+ 1)3 (cos2α+ 1)3

Sposób II

Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC możemy również wyliczyć z trójkąta SBO , gdzie - środek kuli wpisanej w stożek (zatem to dwusieczna kąta ). Mamy