Zadanie nr 9802980

Do naczynia w kształcie odwróconego stożka wrzucono kulkę o promieniu r = 3 cm . Oceń, czy kulka będzie wystawać nad brzeg naczynia. Uzasadnij odpowiedź wykonując odpowiednie obliczenia, jeżeli wiadomo, że wysokość stożka wynosi 12 cm a promień podstawy 4 cm.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku – rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

Sposób I

Ułóżmy najpierw plan działań. Jeżeli oznaczmy przez kąt rozwarcia stożka, to z podanych wysokości i promienia będziemy mogli wyliczyć funkcje trygonometryczne kąta (lewy obrazek). To z kolei pozwoli obliczyć długość odcinka (prawy rysunek), a w konsekwencji też . Na koniec sprawdzimy, czy AE > 12 , czy też nie – od tego będzie zależała odpowiedź.

Liczymy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC mamy

∘ ------------ √ --------- √ ---- √ --- AB = AC 2 + BC 2 = 1 44+ 16 = 160 = 4 10.

Zatem

sin α = BC-- = -√4----= √-1--. AB 4 10 1 0

Teraz patrzymy na trójkąt ADO na prawym obrazku.

DO-- DO--- -3-- √ --- AO = sinα ⇒ AO = sin α = √1-- = 3 10 . 10

Zatem

√ --- AE = AO + 3 = 3 10+ 3 > 3 ⋅3+ 3 = 12.

Zatem kulka będzie wystawać ze stożka.

Sposób II

Tym razem postąpimy inaczej: obliczmy promień kuli wpisanej w stożek o podanych wymiarach i sprawdzimy, czy promień ten jest większy, czy też mniejszy od 3 cm.

Patrzymy na trójkąt równoramienny otrzymany w przekroju stożka. Jego pole jest równe