/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek

Zadanie nr 9878305

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru V = 13πH (r2 + rR + R 2) , gdzie r i R są promieniami podstaw (r < R ), a H jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość 840π , a r = 6 . Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekrojem ściętego stożka jest trapez równoramienny ABCD .

PIC

Obliczmy najpierw promień większej podstawy – korzystamy z podanej objętości.

8 40π = 1πH (r2 + rR + R 2) = 1π ⋅ 10⋅ (36+ 6R + R 2) / ⋅--3- 3 3 10 π 252 = 36+ 6R + R 2 0 = R2 + 6R − 216.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 36+ 864 = 9 00 = 302 −-6−--30- −-6+-3-0- R = 2 = − 1 8 lub R = 2 = 12.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy R = 12 . Patrzymy teraz na trapez równoramienny ABCD i jego wysokości DE i CF .

EF = DC = 12 AB − DC 24 − 12 AE = F B = ----------= --------= 6 2 2 AF = AE + EF = 6 + 12 = 18 ∘ ---2------2 ∘ --2-----2- ∘ -2----2 √ ---- AC = AF + CF = 18 + 10 = 2 9 + 5 = 2 10 6.

Stąd

√ ---- AF 18 9 9 1 06 cos ∡BAC = ----= -√-----= √----- = -------. AC 2 106 10 6 106

 
Odpowiedź: 9 9√106 √-106 = -106-

Wersja PDF