Konkursy - zadania z matematyki

Moneta o średnicy 1 cm toczy się po obwodzie sześciokąta foremnego o boku długości 1 cm (patrz rysunek) tak długo, aż powróci do położenia początkowego. Ile centymetrów ma długość drogi, którą zakreślił środek monety?

A) 6 + π2- B) 6 + π C) 12 + π D) 1 2+ 2 π E) 6 + 2π

Świeże grzyby zawierają 90% wody. W wyniku suszenia masa grzybów zmniejsza się dziewięciokrotnie. Ile procent wody zawierają suszone grzyby?

Automat matematyczny działa na następującej zasadzie: do danej liczby dodaje 1 lub ją podwaja. Do automatu wprowadzono liczbę 0. Ten po wykonaniu pewnej liczby operacji otrzymał liczbę 100. Jaka jest najmniejsza liczba operacji, którą musi wykonać automat, żeby otrzymać taki wynik?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 28 E) 43

Ile jest liczb całkowitych dodatnich takich, że odległość na osi liczbowej między liczbami √ -- n i 10 jest mniejsza niż 1.
A) 19 B) 20 C) 38 D) 39 E) 40

Każdą ścianę sześciennej kostki do gry malujemy jednym z dwóch ustalonych kolorów (nie zamalowując oczek). Ile różnych dwukolorowych kostek można w ten sposób otrzymać?
A) 64 B) 62 C) 48 D) 36 E) 24

Ile jest par liczb rzeczywistych, których suma, iloczyn i iloraz są równe?
A) 1 para B) 2 pary C) 4 pary D) 8 par E) Taka para nie istnieje

Liczbę naturalną nazywamy palindromiczną, jeśli jej zapis dziesiątkowy czytany od lewej strony do prawej jest taki sam, jak czytany od prawej strony do lewej, np. 13931 jest liczbą palindromiczną. Różnica między największą liczbą palindromiczną sześciocyfrową i najmniejszą liczbą palindromiczną pięciocyfrową jest równa
A) 989989 B) 989998 C) 998998 D) 999898 E) 899998

Dla jakich liczb całkowitych dodatnich liczby 5 p + p+ 1 i 11 p + p+ 1 są pierwsze.

Udowodnij, że jeżeli a ≥ b > 0 to (a+b-) √ --- (a−b-)2- 2 − ab ≥ 8a .

Jaka jest wartość sumy ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ co s1 + cos 2 + cos3 + ⋅⋅⋅ + cos 358 + cos3 59 ?
A) 1 B) C) 0 D) 359 E) -1

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb x,y ,z spełniona jest nierówność

( 1 1 1 ) (x + y + z) -+ --+ -- ≥ 9 x y z

Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to

√ ----- (a + b)(c + d) ≥ 4 abcd.

Jaka jest minimalna liczba punktów, które należy usunąć z rysunku, aby żadne trzy punkty spośród pozostałych nie leżały na jednej prostej?

A) 3 B) 4 C) 2 D) 7 E) 1

Każdą z dwóch identycznych prostokątnych kartek papieru rozcięto na dwie części. Z pierwszej kartki otrzymano dwa prostokąty o obwodach 40 cm każdy, z drugiej zaś również dwa prostokąty, ale o obwodach 50 cm każdy. Oblicz obwód wyjściowych kartek.
A) 40 cm B) 50 cm C) 60 cm D) 80 cm E) 90 cm

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb naturalnych b > a zachodzi równość N W D (a,b) = N W D (a,b− a) .

Za każdy test można otrzymać jedną z ocen: 1, 2, 3, 4, 5 albo 6. Średnia ocen Beaty z czterech testów jest równa 4. Które z poniższych zdań nie może być prawdziwe?
A) Beata otrzymała z każdego testu ocenę 4
B) Beata otrzymała ocenę 3 dokładnie z dwóch testów
C) Beata otrzymała ocenę 1 dokładnie z jednego testu
D) Beata otrzymała ocenę 4 dokładnie z dwóch testów
E) Beata otrzymała ocenę 3 dokładnie z trzech testów.

Najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą sumę 11 13 3 + 5 jest
A) 2 B) 3 C) 5 D) 3 11 + 513 E) 1

Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono prostą równoległą do boku , która przecina boki i odpowiednio w punktach i .
Wykaż, że |ED | = |EA |+ |DB | .