/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 5813879

Ciągi (an) i (bn) , gdzie n ≥ 1 są ciągami arytmetycznymi. Wykaż, że jeżeli ciąg (cn) zdefiniowany wzorem cn = an ⋅bn (n ≥ 1 ) jest ciągiem arytmetycznym, to różnica jednego z ciągów (an) lub (bn) jest równa zeru.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Niech r1 i r2 będą różnicami odpowiednio ciągów (an) i (bn) , tzn.

a − a = r n+1 n 1 bn+1 − bn = r2

dla n ≥ 1 . Wiemy, że ciąg cn = anbn też jest arytmetyczny, więc dla dowolnego n ≥ 2 mamy

2cn = cn+1 + cn− 1 2anbn = an+ 1bn+1 + an− 1bn−1 2anbn = (an + r1)(bn + r2)+ (an − r1)(bn − r2) 2a b = a b + r b + r a + r r + a b − r b − r a + rr n n n n 1 n 2 n 1 2 n n 1 n 2 n 12 0 = 2r1r2.

Zatem rzeczywiście r1 = 0 lub r2 = 0 .

Sposób II

Ciągi arytmetyczne to ciągi mające wzór postaci xn = x 1 + (n − 1 )r = (x1 − r)+ nr . Wiemy zatem, że

an = (a1 − ra)+ nra bn = (b1 − r )+ nr b b

dla pewnych liczb r a i r b . Wtedy

cn = anbn = ((a1 − ra)+ nra)((b1 − rb)+ nrb ) = 2 = [(a1 − ra)(b1 − rb)]+ n [ra(b1 − rb)+ rb(a1 − ra)]+ n rarb.

Jeżeli ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym, to współczynnik przy 2 n musi być równy 0. Zatem rarb = 0 , czyli ra = 0 lub rb = 0 .

Wersja PDF