/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 4999320

Liczby √ --- x1 = 5 + 23 i √ --- x 2 = 5− 23 są rozwiązaniami równania x 2 − (p 2 + q2)x + (p + q) = 0 z niewiadomą x . Oblicz wartości p i q .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a mamy

{ 2 2 p + q = x1 + x2 = 1√0--- √ --- p + q = x 1x2 = (5+ 23)(5 − 23) = 25− 23 = 2.

Sposób I

Musimy rozwiązać powyższy układ równań. Wstawiamy q = 2 − p do pierwszego równania

p2 + (2 − p)2 = 1 0 2 2 p + 4 − 4p + p = 10 2p2 − 4p − 6 = 0 p2 − 2p − 3 = 0.

Dalej Δ = 4 + 12 = 16 i p = −1 lub p = 3 . Wtedy q = 3 lub q = − 1 odpowiednio.

Sposób II

Ponieważ

10 = p2 + q2 = (p + q)2 − 2pq ⇒ pq = − 3.

Zatem na mocy wzorów Viète’a liczby p i q są pierwiastkami równania

p2 − 2p − 3 = 0 .

Równanie to rozwiązujemy tak jak poprzednio. (p,q) = (− 1,3) lub (p ,q) = (3,− 1) .

Wersja PDF