Zadanie nr 1794772

Dla jakich wartości parametru m ∈ R pierwiastek równania lo g43 − m = log2(x + 3) należy do przedziału ⟨3,4) ?

Rozwiązanie

Dziedziną równania jest przedział (− 3,+ ∞ ) . Spróbujmy rozwiązać to równanie.

log43 = m + log 2(x + 3) lo g23 m ------= lo g22 + lo g2(x + 3) lo g24 1- m 2 log 23 = log 2(2 (x + 3 )) 1 m l√og23 2 = log2(2 (x + 3)) 3 = 2m(x + 3) √ -- √ -- --3- ---3 x+ 3 = 2m ⇐ ⇒ x = 2m − 3.

Ze względu na dziedzinę równania ten rachunek ma sens o ile

√ -- √ -- --3- --3- x = 2m − 3 > − 3 ⇐ ⇒ 2m > 0,

co na szczęście zawsze zachodzi.

Pozostało jeszcze sprawdzić, kiedy obliczony pierwiastek jest w podanym przedziale

√ -- 3 ≤ --3-− 3 < 4 / + 3 √2m- 3 −1 6 ≤ --m-< 7 / () 2m 1-≥ 2√---> 1- 6 3 7 √ -- √ -- --3-≥ 2m > --3- / log () 6 √ -- 7 √ 2- 3 3 log2 ----≥ m > log 2----. 6 7

Odpowiedź: ( ⟩ √-3 √-3 m ∈ log 2 7 ,lo g2 6