Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria

Wyszukiwanie zadań

Dla jakich wartości parametru m równanie  2 2 x + y − 2mx + 2m − 1 = 0 opisuje okrąg?

  • Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu.
  • Dla jakich wartości parametru m okrąg ten jest styczny do prostej o równaniu x = 4 ?

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Krawędź AS jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu B od krawędzi CS jest równa d , a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę 2 α , gdzie α ∈ ( π, π-) 4 2 . Oblicz:

  • odległość punktu A od krawędzi CS

  • wysokość tego ostrosłupa.

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem prostokątnym, |∡ACB | = 90∘ . Sinus jednego z kątów ostrych podstawy jest równy 0,6 . Promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 10 cm. Wysokość SC ostrosłupa ma długość 24 cm. Oblicz:

  • objętość ostrosłupa;
  • tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa, zawierającej przeciwprostokątną podstawy, do płaszczyzny podstawy.

Przez punkt P krawędzi bocznej AD graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF o krawędzi podstawy równej a poprowadzono dwie płaszczyzny. Jedna przechodzi przez przeciwległą krawędź dolnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem α , a druga przechodzi przez przeciwległą krawędź górnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem β (zobacz rysunek).


PIC


Udowodnij, że objętość ostrosłupa BCF EP jest równa

a3sin(α-+-β)- 4 cosα cosβ

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy 512- . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.

Ukryj Podobne zadania

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 72 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy 43 . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.

Po wydłużeniu każdej krawędzi sześcianu o 2, długość jego przekątnej podwoiła się. Oblicz pole powierzchni całkowitej powiększonego sześcianu.

Odległość wierzchołka sześcianu od przekątnej sześcianu (do której dany wierzchołek nie należy) jest równa 4 cm. Oblicz objętość sześcianu.

Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, jaki tworzą wierzchołki parabol o równaniu f(x) = (x − 3)2 + m , gdzie m ∈ R – parametr.

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, jaki tworzą wierzchołki parabol o równaniu f(x) = − 2 (x− m)2 − 4 , gdzie m ∈ R – parametr.

Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, jaki tworzą wierzchołki parabol o równaniu f(x) = 5 (x− m )2 + m , gdzie m ∈ R – parametr.

Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, jaki tworzą wierzchołki parabol o równaniu f(x) = − 12(x+ m )2 + 2m , gdzie m ∈ R – parametr.

Na rysunku przedstawiono bryłę, której podstawą jest kwadrat a ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Wymiary bryły podane są na rysunku.


PIC


Oblicz objętość tej bryły.

W trójkącie ABC , gdzie |AC | = 2|AB | dane są B = (− 6,6) i C = (− 10,− 9) . Wyznacz współrzędne wierzchołka A , jeżeli leży on na prostej 3y + x = 1 .

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .


ZINFO-FIGURE


Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 12 i 16. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych rombu w podstawie, a pole powierzchni bocznej jest równe 104. Oblicz objętość ostrosłupa.

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Dany jest trójkąt prostokątny o polu  √ -- 2 3 i kącie ostrym  ∘ 30 . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt prostokątny o polu 5√-3 2 i kącie ostrym  ∘ 30 . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Dany jest trójkąt prostokątny o polu 3√-3 2 i kącie ostrym  ∘ 30 . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i n ≥ 3 wyraża się wzorem Pn = n(n−3) 2 .

  • Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
  • Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
  • Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
  • Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.

Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku ABCD ma miarę  ∘ 60 . Przekątna AC ma długość 6, a przekątna BD jest prostopadła do boku AD . Oblicz długości boków równoległoboku.

Punkty A = (0,4) i B = (6,0) są końcami odcinka AB . Prosta y = x przecina odcinek AB w punkcie C . Oblicz stosunek |AC| |CB| .

Ukryj Podobne zadania

Punkty A = (10,0 ) i B = (0,− 6) są końcami odcinka AB . Prosta y = −x przecina odcinek AB w punkcie C . Oblicz stosunek |AC| |CB| .

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości a . Pole podstawy jest równe sumie pól dwóch przystających ścian bocznych graniastosłupa. Jakie powinny być długości pozostałych krawędzi graniastosłupa, aby jego objętość była największa?

W czworokącie wypukłym ABCD (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: |∡ADC | = |∡ABC | = 90∘ oraz |∡DCB | = 135∘ . Wykaż, że  √- |DB-|= -2- |AC | 2 .


PIC


Dane są trzy okręgi o1 , o2 i o3 . Okręgi o1 , o2 są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o3 (patrz rysunek). Promienie okręgów o1 i o2 są odpowiednio równe r1 i r2 , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka EF jest równa  √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek EF jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów o1 i o2 .


PIC


Strona 1 z 107
spinner