Zadania.info: zadanie nr 1312454, Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których równanie, 710

Zadania

Wymierne

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Równania/Wymierne/Z parametrem

Zadanie nr 1312454

Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$ , dla których równanie $2 2 x-−-(4b+3)x+3b-+3b = 0 x− 2$ ma

jedno rozwiązanie,
dwa różne rozwiązania ujemne.

Rozwiązanie

Oczywiście wystarczy zajmować się równaniem kwadratowym w liczniku, pamiętając, że $x = 2$ nie może być pierwiastkiem równania. Od razu sprawdźmy kiedy tak jest (podstawiamy $x = 2$ do równania).

0 = 4− 2 (4b+ 3)+ 3b2 + 3b = 4 − 8b − 6 + 3b2 + 3b = 2 = 3b − 5b − 2 Δ = 25 + 24 = 49 5− 7 1 5 + 7 b = ------= − -- ∨ b = ------= 2. 6 3 6

Liczymy $Δ$ -ę. $Δ = (4b + 3)2− 4(3b2+ 3b ) = 16b2 + 24b + 9− 1 2b2− 12b = 4b2+ 12b+ 9 = (2b+ 3)2.$
Zatem $Δ = 0$ (czyli równanie ma jeden pierwiastków) dla $b = −23$ . Trzeba uwzględnić wcześniej rozważoną sytuację, gdy jednym z pierwiastków jest $x = 2$ .
Odpowiedź: $3 1 b ∈ { − 2,− 3,2}$
Z poprzedniego podpunktu wiemy, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki, pozostało sprawdzić kiedy oba są ujemne. Tak będzie gdy ich suma będzie ujemna, a iloczyn dodatni. Na mocy wzorów Viète’a mamy ${ 3 0 > x1 + x2 = 4b + 3 ⇒ b < − 4 0 < x1x2 = 3b 2 + 3b = 3b(b + 1) ⇒ b ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ (0,+ ∞ ).$
Układ ten daje nam $b ∈ (− ∞ ,− 1)$ . Pozostało zauważyć, że z poprzedniego podpunktu wynika, iż z tego zbioru musimy wyrzucić $3 − 2$ .
Odpowiedź: $( ) ( ) b ∈ − ∞ ,− 32 ∪ − 32,− 1$ .

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło