Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1787847

Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2 .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy dwa pionowe odcinki ME i MF .


PIC

Mamy wtedy

AM 2 + CM 2 = AE 2 + EM 2 + MF 2 + FC 2 2 2 2 2 2 2 BM + DM = BE + EM + MF + DF .

Aby zobaczyć, że wyrażenia te są identyczne, wystarczy zauważyć, że AE = DF i FC = BE .

Sposób II

Możemy prostokąt umieścić w układzie współrzędnych tak, aby A = (0,0) , B = (a,0) , C = (a,b) i D = (0 ,b ) . Jeżeli oznaczymy M = (x,y) to mamy

 2 2 2 2 2 2 AM + CM = (x + y ) + ((x − a) + (y− b) ) BM 2 + DM 2 = ((x − a)2 + y2) + (x2 + (y− b)2),

co kończy dowód. Z tego rozwiązania widać wyraźnie, że nie jest istotne, iż punkt M jest wewnątrz prostokąta.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.