Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR

Logarytmy

Definicje Najważniejsze w całej zabawie z logarytmami to zrozumieć, co to jest logarytm.

Wyrażenie log b a jest równe odpowiedzi na pytanie:
do jakiej potęgi należy podnieść a , żeby otrzymać b ?

To zdanie należy traktować jako definicję logarytmów i koniecznie trzeba je zapamiętać – jest to klucz do wszystkich ich własności. Przy pomocy wzorków zapisuje się to w postaci

 x loga b = x ⇐ ⇒ b = a

Od ręki możemy policzyć kilka prostych przykładów – w każdym z nich spróbujcie samodzielnie zgadnąć odpowiedź – i nie potrzebujemy do tego żadnych wzorów!

 log 223 = 3 log 81 = 4 3 log 44 = 1 log 1 = 0 3 log 1-= − 1 55 √ -- 1 log 2 2 = -- 2 log 13 9 = − 2 log 8 = − 3 0,5 2log219 = 19.

Jeżeli ktoś nie rozumie powyższych równości to ma małe szanse na sprawne posługiwanie się logarytmami, dlatego radzę się poprzyglądać do skutku.

Jeżeli rozumiemy już te wzorki, to powinny być jasne odrobinę ogólniejsze równości:

loga a = 1 loga 1 = 0 aloga b = b log 1-= − log b ab a log 1b = − lo gab. a

Tego typu wzory bywają bardzo użyteczne, ale jeżeli pamiętamy (i rozumiemy) definicję logarytmu, to nie trzeba ich się uczyć na pamięć, są one wtedy dość oczywiste.

Dla przykładu popatrzmy na trzeci wzorek: lo g b a to jest taka liczba, że jak podniesiemy do niej a to wyjdzie b . I co robimy? – podnosimy do niej a , więc wychodzi b .

Dla treningu przeczytajmy jeszcze czwarty wzorek. Wiemy, że jak podniesiemy a do potęgi loga b to wyjdzie b . Jeżeli więc podniesiemy a do potęgi − log b a to wyjdzie b−1 = 1 b .

Obliczmy a3b6 jeżeli lo g2a = − 1 i  1 lo g3b = 3 .
Z definicji logarytmu wiemy, że 2−1 = a i 313 = b . Zatem

 3 6 ( − 1) 3 ( 1) 6 32- 9- a b = 2 ⋅ 33 = 23 = 8.

Wzorki W przypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń, np. log 3 2 nie jesteśmy w stanie obliczyć tej liczby dokładnie – jest to po prostu potęga do jakiej trzeba podnieść 2, żeby wyszło 3. Jest to pewna liczba niewymierna, mniej więcej równa 1,58496... (powinno być jasne, że musi być między 1 a 2, bo  1 2 = 2 i  2 2 = 4 ). Symbol log 23 należy traktować jako oznacznie tej liczby. Pomimo, że nie znamy jej dokładnej wartości, możemy jednak o niej coś powiedzieć, np. bezpośrednio z definicji wiemy, że 2log23 = 3 . Są też ciekawsze własności.

Sprawdźmy że lo g26 = 1 + log 23 .
Myślimy o tym następująco: do jakiej potęgi trzeba podnieść 2, żeby wyszło 6? Ponieważ 6 = 2 ⋅3 , musimy podnieść 2 do potęgi 1 (dwójka w rozkładzie) i jeszcze do log 23 (trójka w rozkładzie).

Sytuacja jest podobna jak z pierwiastkami: mało kto potrafi podać nawet przybliżoną wartość √ ---- 213 , ale jest jasne, że  √ ---- 2 ( 21 3) = 213 czy  √ ---- √ ---- 2 213 = 852 .

Pomimo, że takie kombinowanie nie jest bardzo trudne, można to zrobić szybciej korzystając z następujących wzorów:

loga (bc) = logab + loga c 1 loga --= − loga b b b- loga c = lo gab − loga c log bn = n log b a a logc-b- loga b = log a c log b = --1--. a logb a

Nie będziemy tych wzorków uzasadniać, zamiast tego krótko je omówimy. Pierwszy wzór, który jest natychmiastową konsekwencją wzoru  m+n m n x = x x , jest zdecydowanie najważniejszą własnością logarytmów. Można go czytać tak: suma logarytmów to logarytm iloczynu. Wzór ten pojawia się w większości zadań z logarytmami – zapamiętać należy, że logarytmy dobrze zachowują się przy dodawaniu.

log6 2+ log 63 = log 66 = 1.

Drugi wzór to prosta konsekwencja definicji (można też go traktować jako przypadek szczególny 4 wzoru).

log 0,25 = − lo g 4 = − 1. 16 16 2

Trzeci wynika natychmiast z pierwszych dwóch i z grubsza mówi, że logarytmy dobrze się zachowują przy odejmowaniu.

 63- 9- 635- log7 5 − log7 5 = log7 9 = log 77 = 1 . 5

Czwarty wzór, wynikający z równości  m n mn (x ) = x , bywa bardzo użyteczny w rachunkach, bo pozwala wyciągać potęgi przed logarytm.

log7-32 log-725- 5log-72- 5- lo g 8 = log 23 = 3log 2 = 3 7 7 7 log 3⋅ log 2 = log 2log23 = lo g 3 = 1- 2 9 9 9 2

Przedostatni wzór to tzw. wzór na zmianę podstawy logarytmu. Jak nazwa wskazuje pozwala dowolnie zmieniać podstawę logarytmu.

 log 2 7 3 lo g927 = ---3--- = --. log 39 2

Jeszcze jeden przykład na ostatni wzór.

 1 1 ------+ ------ = log6 2+ lo g63 = log 66 = 1. log2 6 log3 6

Logarytm dziesiętny i naturalny Jak zrobić tablice logarytmów? – w zasadzie się nie da, bo lo gab ma dwa argumenty i takie tablice byłyby ogromne. Z drugiej strony, mamy wzór na zmianę podstawy logarytmu i wystarczy znać logarytmy przy jednej ustalonej podstawie. Dlatego wyróżnia się dwie podstawy: 10 i e = 2,7 18... . Logarytm przy podstawie 10 nazywa się dzięsiętnym i oznacza logb = lo g10b , a przy podstawie e naturalnym i oznacza ln b = lo geb .

O ile nie trzeba specjalnie tłumaczyć dlaczego logarytm przy podstawie 10 jest wyróżniony, to aby dobrze zrozumieć fenomen logarytmu naturalnego trzeba znać pochodne – ponieważ pochodne zniknęły ze szkoły, logrytm naturalny też w zasadzie jest w niej marginalizowany, warto jednak wiedzieć, że taki jest. Tips & Tricks

1Pamiętajmy, że wzory na sumę i różnicę logarytmów wymagają, aby logarytmy miały tę samą podstawę. Jeżeli nie mają, to możemy spróbować ją zmienić ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

 log2 5 1 log2 5+ lo g45 = lo g25 + log--4 = log 25+ 2-lo g25 = √ 2- = log 5+ log 512 = lo g 5 5. 2 2 2

2Czasem może spotkać się z potrzebą uproszczenia wyrażenia, w którym mamy iloczyny logarytmów, np.

 2 log12 4+ log 12 3⋅ log 1248.

Ponieważ nie ma wzoru na iloczyn logarytmów w takiej sytuacji staramy się wyłączyć wspólny czynnik przed nawias i skorzystać ze wzoru na sumę logarytmów.

 2 2 log 12 4+ lo g123 ⋅lo g1248 = lo g124 + log123 ⋅log12(4 ⋅12) = = lo g2 4 + log 3 ⋅(log 4 + log 12) = 122 12 12 12 = lo g124 + log123 log124 + log12 3 = = lo g 4 (log 4+ log 3) + log 3 = 12 12 12 12 = lo g124 log 1212 + log123 = = lo g 4 + log 3 = lo g 12 = 1 . 12 12 12

3Wprawdzie wzór na logarytm iloczynu zwykle podaje się tylko dla dwóch liczb, ale jest on prawdziwy dla dowolnej liczby czynników.

log (x1x 2⋅⋅⋅xn ) = lo g x1 + log x2 + ⋅⋅⋅+ log xn. a a a a

Obliczmy sumę

 -1-- -2- 3-- 99- 10-0 log 10 0 + lo g9 9 + lo g 98 + ...+ log 2 + log 1 .

Ze wzoru na logarytm iloczynu, suma ta jest równa:

 ( ) -1-- 2-- 3-- 98- 99- 10-0 log 100 ⋅ 99 ⋅98 ⋅...⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = lo g1 = 0.

4Duża liczba wzorków z logarytmami sprawia, że mamy podobną sytuację jak z funkcjami trygonometrycznymi: ta sama liczba może być zapisana na wiele różnych sposobów.

W poprzednim podpunkcie sprawdziliśmy, że

 √ -- lo g25 + log4 5 = log25 5,

ale mogliśmy też liczyć tak

 1 1 1 1 3 log2 5+ lo g45 = ------+ ------= ------+ --------= -------. lo g52 lo g54 log52 2log 52 2log5 2

5Większość szkolnych kalkulatorów/tablic pozwala znaleźć tylko wartości logarytmów dziesiętnych. Jak w takim razie wyliczyć inny logarytm? – korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu

lo g b = lo-gb-. a lo ga
log 3 = log-3-≈ 0,48-≈ 1,6. 2 log 2 0 ,3

Tu zaczynamy dotykać delikatnego problemu szacowania błędu obliczeń: jeżeli dzielimy dwie liczby, które znamy z dokładnością do 0,01 to trudno jest przewidzieć z jaką dokładnością znamy wynik (zależy to od wartości liczby, przez którą dzielimy). Aby to zrozumieć, wystarczy wziąć przybliżenie π ≈ 3,14 i podzielić przez 10. Wtedy wynik znamy z dokładnością do 0,001. Ale jak podzielimy przez 1- 10 (czyli pomnożymy przez 10), to wynik znamy tylko z dokładnością do 0,1. W naszym przykładzie dzieliliśmy przez 0,3, więc wyniku na pewno nie znamy z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

6Jest sporo zadań typu ’uprość wyrażenie’, w których występują logarytmy o różnych podstawach – zwykle pierwszą rzeczą do zrobienia jest sprowadzenie wszystkich logarytmów do wspólnej podstawy – im mniejszej tym lepiej. Np. jeżeli w zadaniu są logarytmy o podstawie 2,3,6,9 to za wspólną podstawę najlepiej wziąć 2 lub 3. Jeżeli nie widać jaką wziąć wspólną podstawę, to zawsze możemy pozamieniać wszystko na logarytmy dziesiętne lub naturalne.

Obliczmy wartość wyrażenia log 270,8 jeżeli log4 3 = a i lo g 3 = b 5 .
Liczba która się wyróżnia w podanej treści to 3 (jest w każdym składniku, bo  3 2 7 = 3 ), więc zamieniamy podstawę wszystkich logarytmów na 3.

 1 1 a = log 43 = ------ ⇒ lo g34 = -- log 34 a 1 1 b = log 53 = ------ ⇒ lo g35 = -- log 35 b 4 log3 45 log3 4− lo g35 1a − 1b b − a log 27 --= -------= ---------------= ------= -----. 5 lo g327 3 3 3ab

Sprawdźmy, kiedy liczby log 0,645,logx 45 i lo g0,83 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Interesujący nas warunek będzie spełniony jeżeli środkowa liczba będzie średnią arytmetyczną pozostałych dwóch. Liczmy (zamieniamy wszystkie logarytmy na dziesiętne).

2 log 4 5 = log 5+ log 3 x 0,64 0,8 2log-45- -log-5-- -lo-g3-- --lo-g5--- -lo-g3-- lo gx = log 0,82 + log 0,8 = 2 log 0,8 + log 0,8 2log-45-= log-5-+-2-log-3-= log(5-⋅9)- lo gx 2 lo g0,8 2 log 0,8 2log 45 lo g45 --------= --------- lo gx 2log 0,8 lo gx = 4log 0,8 = log(0 ,8 )4 ⇒ x = 0,40 96.

7Jedno z popularnych zastosowań logarytmów, to ’zdejmowanie na dół wykładników’, czyli logarytmowanie stronami.

Rozwiążmy równanie 2x = 8 1 .
Logarytmujemy równanie stronami logarytmem przy podstawie 2.

log22x = lo g234 x = 4log 3. 2

Uzasadnijmy, że liczby  log 5 7 11 i  log 7 5 11 są równe.

 log 5 log 7 7 11 (= 5 11) / log11(() ) log115 log117 lo g11 7 = log11 5 lo g 5 ⋅lo g 7 = log 7⋅ log 5. 11 11 11 11

Otrzymana równość jest oczywiście prawdziwa.

Ile cyfr ma liczba  1000 2 ?
Pytanie można przeformułować tak: dla jakiej liczby całkowitej k , mamy nierówność

10k− 1 ≤ 21000 < 10k

(np. liczby trzycyfrowe to te, które są nie mniejsze od 100 i mniejsze od 1000). Jeżeli zlogarytmujemy tę równość stronami (logarytmem dziesiętnym) to mamy

 log 10k− 1 ≤ 21000 < 10k k − 1 ≤ 10 00log 2 < k.

Pytanie zatem brzmi jak jest część całkowita liczby 1000 lo g2 . Ponieważ mnożymy przez 1000 potrzebujemy do tego wartość log 2 z dokładnością do 0,001. Oczywiście to żaden problem dla kalkulatora i mamy

100 0log 2 ≈ 1000 ⋅0,30 1 = 301.

Zatem liczba  1000 2 ma 302 cyfry (bo w nierówności ma być 1000 log 2 < k ).

8Żeby nie zaciemniać obrazka nie przejmowaliśmy się na razie dziedziną logarytmu, ale warto pamiętać, że w wyrażeniu log b a musi być a,b > 0 i a ⁄= 1 . Takie rzeczy zaczynają być bardzo ważne, gdy mamy parametry i nie wiemy dokładnie jaki mają znak.

Rozwiążmy równanie  x 1 x = x , gdzie x > 0 . Logarytmujemy stronami logarytmem przy podstawie x .

 1 xx = -- x log xx = log 1- x x x x = − 1.

Mieliśmy szukać tylko dodatnich rozwiązań, więc równanie jest sprzeczne.
Na pewno? Logarytmować przy podstawie x mogliśmy tylko dla x ⁄= 1 , więc x = 1 musimy sprawdzić osobno. I tak się składa, że to akurat jest rozwiązanie.

Spróbujmy rozwiązać równanie lo g[x(x+ 3)]− log [x (x+ 2)] = lo g2 .
Liczymy

 x (x+ 3) log --------- = log 2 x (x+ 2) x-+-3-= 2 x + 2 x + 3 = 2x + 4 0 = x + 1 ⇒ x = − 1.

Rachunek wygląda niewinnie, ale x = − 1 wcale nie jest rozwiązaniem równania! (Bo argumenty logarytmów wychodzą ujemne.) Z drugiej strony, x = − 1 jest rozwiązaniem równania  x(x+-3) log x(x+ 2) = lo g2 . Po prostu lewa i prawa strona równości

 x(x-+-3)- lo g[x(x + 3)]− log [x (x+ 2)] = lo g x(x + 2)

mają różne dziedziny.

9Widzieliśmy przed chwilą, że trzeba bardzo ostrożnie używać wzorów z logarytmami, gdyż na ogół zmieniają one dziedzinę przekształcanego wyrażenia. W niektórych sytuacjach wygodne jest połączenie wzorów z logarytmami razem z wartością bezwzględną, co znacznie zwiększa możliwości ich zastosowania.

Dziedzina prawej strony wzoru log (xy ) = log x+ lo gy jest znacznie mniejsza od dziedziny lewej strony. Jeżeli jednak zapiszemy ten wzór w postaci

log |xy | = lo g|x|+ lo g|y|

to dziedziny obu stron są dokładnie takie same.

Podobnie jest z wzorem lo gxn = nlog x . Jeżeli n = 2k jest liczba całkowitą parzystą, to lewa strona ma sens dla dowolnych niezerowych liczb x , a prawa tylko dla liczb dodatnich. Jeżeli jednak napiszemy ten wzór w postaci

 2k log x = 2k lo g|x|,

to dziedziny obu stron są identyczne. O wzorze tym należy myśleć jak o odpowiedniku wzoru

2k√ ---- x2k = |x|.

Rozwiążmy równanie log2(3x + 4)4 = 4 .
Mamy

4log |3x+ 4| = 4 2 log2 |3x + 4| = 1 |3x+ 4| = 2 3x + 4 = 2 ∨ 3x+ 4 = − 2 2 x = − -- ∨ x = − 2. 3

10 Często wykorzystywany motyw w zadaniach szkolnych to fakt, że logarytm zamienia ciąg geometryczny na arytmetyczny.

Jeżeli ciąg (an) jest geometryczny, to iloraz ana+n1 nie zależy od n . Jeżeli tę równość zlogarytmujemy

log an+-1 = log an+1 − log an, an

to widzimy, że różnica ta nie zależy od n , czyli ciąg (log an) jest ciągiem arytmetycznym.

11Niezwykła użyteczność logarytmu wynika z faktu, że zamienia on mnożenie na dodawanie. Jeżeli popatrzymy na wzór log (ab ) = loga + log b to widać, że jeżeli umiemy zamieniać liczby na logarytmy i odwrotnie (np. mamy tablice logarytmów), to zamiast mnożyć liczby a i b możemy dodać ich logarytmy. I co z tego? Żeby to zrozumieć trzeba się przenieść w czasy przedkalkulatorowe: proponuję spróbować pisemnie wymnożyć 10 liczb 3 cyfrowych, a wtedy będzie jasne dlaczego dodawanie jest o wiele prostsze od mnożenia. Nawet w czasach współczesnych procesorów, mnożenie jest bardzo czasochłonną operacją i zamiana go na dodawanie dramatycznie przyśpiesza obliczenia.

Policzmy 45 ,2 1⋅2 1,43 .
Sprawdzamy w tablicach (na kalkulatorze :)), że

lo g4 5,21 ≈ 1,655 23 lo g2 1,43 ≈ 1,331 02.

Dodajmy te liczby i mamy 2,98625. Teraz szukamy jakiej liczby to jest logarytm (czyli liczymy 102,98625 ). Wychodzi 968,84. Osobny problem to szacowanie jaki popełniamy błąd, ale nie będziemy się tym zajmować.

Tego typu rachunki miały fundamentalne znacznie w czasach rewolucji przemysłowej, a suwak logarytmiczny jeszcze nie tak dawno temu był nieodłącznym atrybutem każdego inżyniera.

12Przed chwilą przekonywałem, że logarytmy pozwalają łatwo mnożyć liczby, ale to nie wszystko. Dzięki wzorowi

 n log a = n log a

pozwalają też szybko liczyć wartości funkcji wykładniczych oraz pierwiastków.

Policzmy √ --- 7 37 .
Zamiast liczyć interesującą nas liczbę, liczymy jej logarytm.

 7√ --- 1 1- log 37 = log 377 = 7 log 37.

Teraz odszukujemy wartość log 37 w tablicach (na suwaku), dzielimy przez 7

1- 7 log 37 ≈ 0 ,224.

Na koniec szukamy liczby, której jest to logarytm. Wyjdzie

√ --- 737 ≈ 1,675.

Oczywiście takie rachunki są dość archaiczne w dzisiejszych czasach i pozostają ciekawostką historyczną.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu poradnika?
Zauważyłeś błąd lub literówkę?
Masz pomysł jak ulepszyć poradnik?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.