Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR

Równania wielomianowe

Najprostsze równania wielomianowe to równania liniowe oraz kwadratowe. Ponieważ jednak omówiliśmy je w osobnych poradnikach, skupimy się teraz wyłącznie na równaniach stopnia co najmniej 3. Proste równania Bardzo wiele równań, które pojawiają się w zadaniach szkolnych, możemy rozwiązać bez korzystania z jakichkolwiek twierdzeń czy algorytmów. Ogólna zasada jest prosta: próbujemy równanie doprowadzić do postaci iloczyn prostych składników równy 0. Przez proste składniki rozumiemy wielomiany, dla których bardzo łatwo jest wyznaczyć pierwiastki, np. wielomiany liniowe ax + b , albo kwadratowe  2 ax + bx + c .

Rozwiążmy równanie  3 x + 5 = 0 .
Liczymy

 √ ---- √ -- x 3 = − 5 ⇐ ⇒ x = 3 − 5 = − 3 5.

Zauważmy, że równanie jest na tyle proste, że nie ma tym przypadku potrzeby rozkładania wielomianu z lewej strony równania.

Rozwiążmy równanie  4 2 4x − 4x + 1 = 0 .
Jeżeli się dobrze przyjrzymy, to powinniśmy dostrzec, że z lewej strony mamy wzór skróconego mnożenia:

(2x2 − 1)2 = 0 √ -- 2x2 = 1 ⇐ ⇒ x2 = 1- ⇐ ⇒ x = ± --2. 2 2

Rozwiążmy równanie  2 2 2 2 (x + x + 1 ) + 7 = (x + x+ 2) .
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

 2 2 2 2 7 = (x + x + 2) − (x + x + 1) 7 = (x2 + x + 2 − x2 − x − 1)(x2 + x + 2 + x2 + x + 1) 2 7 = 1 ⋅(2x + 2x + 3) 0 = 2x2 + 2x − 4 / : 2 x2 + x− 2 = 0 Δ = 1 + 8 = 9 x = − 2 ∨ x = 1.

Grupowanie wyrazów Odrobinę więcej wprawy wymagają zadania, w których należy odpowiednio pogrupować składniki, tak aby móc wyłączyć dwumian postaci (x − a) przed nawias.

Rozwiążmy równanie 5x 3 − 3x2 + 10x − 6 = 0 .
Zauważmy, że dwa ostatnie współczynniki: 10 i -6 to wielokrotności pierwszych dwóch współczynników: 5 i -3. Taka sytuacja to typowy znak, że możemy coś wyłączyć przed nawias.

 3 2 2 2 0 = 5x − 3x + 1 0x− 6 = x (5x − 3)+ 2 (5x− 3) = (x + 2)(5x − 3 ).

Mamy zatem 5x− 3 = 0 , czyli x = 3 5 .

Rozwiążmy równanie  3 2 8x − 4x − 18x + 9 = 0 .
Tu już trochę trudniej dostrzec możliwość wyłączenia czynnika liniowego przed nawias, ale schemat jest ten sam, co poprzednio.

0 = 8x3 − 4x 2 − 1 8x+ 9 = 4x2(2x − 1)− 9(2x − 1) = 2 = (4x − 9 )(2x− 1) = (2x − 3)(2x + 3)(2x− 1).

Mamy zatem  3 1 x = − 2, x = 2 lub  3 x = 2 .

Pierwiastki wymierne No dobrze, a co zrobić, gdy nie uda nam się sprytnie rozłożyć wielomianu na czynniki? – stosujemy wtedy twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu.

Jeżeli liczba wymierna p q jest pierwiastkiem równania

 n n−1 anx + an− 1x + ⋅⋅⋅ + a1x + a0 = 0,

o współczynnikach całkowitych, oraz ułamek p q jest nieskracalny, to p dzieli a0 i q dzieli an .

Powyższe twierdzenie daje nam przepis w jaki sposób poszukiwać pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych: szukamy pierwiastków (wstawiając do wielomianu) wśród liczb wymiernych postaci p q , gdzie p dzieli a0 i q dzieli a n .

Wymierne pierwiastki równania x 3 + x 2 − x − 1 0 = 0 muszą być postaci:

± 1, ± 2, ± 5, ± 10 .

Sprawdzając po kolei te liczby, znajdujemy pierwiastek x = 2 :

8 + 4 − 2 − 10 = 0.

Wyznaczmy wymierne pierwiastki równania  3 2 6x − 5x − 3x+ 2 = 0 .
Na mocy powyższego twierdzenia musimy brać pod uwagę ułamki pq , gdzie p dzieli 2, a q dzieli 6. Dzielniki 2 są cztery: ± 1,± 2 , a dzielników 6 jest 8: ± 1,± 2,± 3,± 6 . Łatwo sprawdzić, że otrzymujemy w ten sposób następujące liczby

 1 1 1 2 ± 1,± 2,± --,± -,± --,± -. 2 3 6 3

Można sprawdzić, że pierwiastkami są  2 1 x = − 3, x = 2 oraz x = 1 .

Gdy uda nam się już znaleźć chociaż jeden pierwiastek równania, korzystamy z tzw. twierdzenia Bézouta

Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W (x ) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a .

Z punktu widzenia rozwiązywania równania, twierdzenie to oznacza, że jeżeli wiemy, że liczba a jest pierwiastkiem równania W (x) = 0 , to wielomian W (x) można podzielić przez dwumian x − a . Samo dzielenie wielomianów zostało opisane w osobnym poradniku. Gdy wykonamy dzielenie, otrzymamy ponownie równanie wielomianowe, ale jego stopień będzie już o jeden niższy.

Rozwiążmy równanie x 3 + 3x 2 + x − 1 = 0 .
Najpierw szukamy pierwiastków wymiernych: nie mamy dużego wyboru musimy tylko sprawdzić x = −1 i x = 1 . Okazuje się, że pierwsza z tych liczb jest pierwiastkiem, więc dzielimy lewą stronę przez x + 1 . Gdy to zrobimy otrzymamy

0 = x3 + 3x2 + x − 1 = (x + 1 )(x2 + 2x− 1).

Pierwszy składnik zeruje się dokładnie dla x = − 1 , a ten pierwiastek już znamy, więc wystarczy sprawdzić kiedy zeruje się drugi nawias, co prowadzi do zwykłego równania kwadratowego.

x2 + 2x − 1 = 0 Δ = 4+ 4 = 8 − 2− 2√ 2- √ -- − 2 + 2√ 2- √ -- x = -----------= − 1 − 2 ∨ x = -----------= − 1+ 2. 2 2

W sumie równanie ma więc trzy rozwiązania.

Wersja PDF
Login Hasło
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać (telefonicznie) 3,92 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.