Zadania.info: zadanie nr 2753946, Dane są dwa ciągi rosnące: arytmetyczny (a

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 2753946

Dane są dwa ciągi rosnące: arytmetyczny $(an)$ i geometryczny $(bn)$ . Pierwsze wyrazy obu ciągów są równe 2, trzecie ich wyrazy są takie same, a jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy piątemu wyrazowi ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi zapisując wzory na wyrazy ogólne.

Rozwiązanie

Oznaczając iloraz ciągu geometrycznego przez $q$ , a różnicę ciągu arytmetycznego przez $r$ , mamy układ równań

{ a1 + 2r = a1q2 a + 10r = a q 4 { 1 1 2 + 2r = 2q 2 4 2 + 10r = 2q { 2 r + 1 = q 1 + 5r = q4.

Sposób I

Podstawiając $r$ z pierwszego równania do drugiego, mamy

1+ 5(q2 − 1) = q4 4 2 0 = q − 5q + 4.

Jest to równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy $t = q2$ .

2 t − 5t+ 4 = 0 Δ = 25− 16 = 9 t = 1 ∨ t = 4.

$t = 1$ prowadzi do $q = ± 1$ , co jest niemożliwe, bo ciąg geometryczny ma być rosnący. Zatem $t = 4$ i $q = 2$ ( $q = − 2$ nie daje ciągu rosnącego). Stąd $r = q2 − 1 = 3$ . Zatem