Zadania.info: zadanie nr 3794267, Dla jakich wartości parametru k wśród rozwiązań układu równań:x-ky=1-y+kx=1jest, 403

Zadania

Liniowy

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Równania/Układy równań/Liniowy/Z parametrem

Zadanie nr 3794267

Dla jakich wartości parametru $k$ wśród rozwiązań układu równań:

{ x− ky = 1 −y + kx = 1

jest para liczb $(x,y )$ spełniających warunek: $x+ 4y ≤ 1$ ?

Rozwiązanie

Sposób I

Spróbujmy rozwiązać ten układ równań. Od pierwszego równania odejmujemy drugie pomnożone przez $k$ (żeby skrócić $y$ ).

2 x − ky + ky − k x = 1− k x(1 − k2) = 1 − k x(1 − k)(1 + k) = 1− k .

Jeżeli $k = − 1$ to powyższa równość jest sprzeczna. Jeżeli $k = 1$ to $x$ jest dowolne, a $y$ wyraża się wzorem

y = kx− 1 = x − 1.

Mamy wtedy

x + 4y = x+ 4x− 4 = 5x − 4.

Z pewnością można więc znaleźć $x$ , dla którego $x + 4y ≤ 1$ (np. $x = 0$ ).

Pozostał nam przypadek $k ⁄= ± 1$ . Mamy wtedy $-1-- x = 1+k$ oraz

k − 1 y = kx − 1 = -----− 1 = ------. 1+ k 1 + k

Pozostało rozwiązać nierówność

x+ 4y ≤ 1 --1--− --4---≤ 1 1+ k 1 + k 3 0 ≤ ------+ 1 k + 1 0 ≤ k-+-4- k + 1 k ∈ (−∞ ,− 4⟩ ∪ (− 1,+ ∞ ).

Uwzględniając wcześniej rozważone przypadki mamy $k ∈ (− ∞ ,− 4 ⟩∪ (− 1,+ ∞ )$ .

Sposób II

Tym razem zastosujemy metodę wyznacznikową. Liczymy wyznaczniki.

| | |1 −k | 2 W = ||k − 1|| = − 1 + k = (k − 1)(k + 1) | | ||1 −k || Wx = |1 − 1| = − 1 + k || || Wy = |1 1| = 1 − k. |k 1|

Widać teraz, że jeżeli $k = − 1$ to układ jest sprzeczny (bo $W = 0$ i $Wx ⁄= 0$ ).

Jeżeli $k = 1$ to układ jest nieoznaczony i równoważny równaniu $x− y = 1$ . Oczywiście znajdziemy wśród liczb spełniających to równanie parę spełniającą dodatkowo $x + 4y ≤ 1$ (wystarczy np., że $x,y < 0$ , np. $x = − 1,y = − 2$ ).

Pozostał do rozpatrzenia przypadek $k ⁄= − 1$ i $k ⁄= 1$ . Układ ma wtedy dokładnie jedno rozwiązanie

( W W ) ( 1 1 ) (x,y ) = --x,--y- = ------,− ------ . W W k + 1 k+ 1

Pozostało rozwiązać nierówność

x+ 4y ≤ 1 --1--- --4--- 1+ k − 1 + k ≤ 1 0 ≤ --3---+ 1 k + 1 k-+-4- 0 ≤ k + 1 k ∈ (−∞ ,− 4⟩ ∪ (− 1,+ ∞ ).

Uwzględniając wcześniej rozważone przypadki mamy $k ∈ (− ∞ ,− 4 ⟩∪ (− 1,+ ∞ )$ .
Odpowiedź: $k ∈ (− ∞ ,− 4⟩∪ (−1 ,+∞ )$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło