Zadania.info: zadanie nr 3979315, W trójkącie ABC dane są kąt

Zadania

Dowolny

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Promienie okręgów

Zadanie nr 3979315

W trójkącie $ABC$ dane są kąt $∘ |∡ACB | = 12 0$ , $|AC | = 6$ i $|BC | = 3$ . Dwusieczna kąta $∡ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$ .

Oblicz długość odcinka $CD$ .
Jaki jest związek miedzy długościami promieni: okręgu opisanego na trójkącie $ADC$ i okręgu opisanego na trójkącie $DBC$ ? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy szukaną długość przez $CD = x$ .

Policzymy pole trójkąta $ABC$ na dwa sposoby (korzystamy ze wzoru z sinusem).
$1 PABC = --⋅3 ⋅6 ⋅sin 120 ∘ = 9⋅sin(1 80∘ − 60∘) = 9 sin 60∘ 2 P = P + P = 1-⋅3⋅x sin6 0∘ + 1-⋅6⋅x sin6 0∘. ABC BCD CAD 2 2$
Mamy zatem
$3 9sin 60∘ = --xsin 60∘ + 3x sin 60∘ 2 9 = 3x-+ 3x 2 9x- 9 = 2 ⇒ x = 2.$

Sposób II

Plan jest prosty, najpierw wyliczymy długość boku $AB$ , potem, z twierdzenia o dwusiecznej wyliczymy $DB$ . Na koniec, z twierdzenia cosinusów, wyliczymy $CD$ .
Bok $AB$ wyliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABC$ .
$∘ -------------------------------- AB = BC 2 + AC 2 − 2BC ⋅AC cos120 ∘ = √ ------------- √ --- √ -- = 9 + 36 + 3 ⋅6 = 6 3 = 3 7.$
Na mocy twierdzenia o dwusiecznej,
$AD-- AC-- DB = BC = 2.$
Zatem
$√ -- DB = 1-AB = 7. 3$
Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta $DBC$ (oznaczmy $DC = x$ ).
$2 2 2 ∘ BD = BC + DC − 2BC ⋅DC cos6 0 7 = 9+ x2 − 3x x 2 − 3x + 2 Δ = 9 − 8 = 1 x = 1 ∨ x = 2.$
Spróbujmy się teraz zastanowić dlaczego wyszły dwie wartości $x$ . Zauważmy, że przy ustalonych długościach odcinków $BC$ i $BD$ oraz kącie $BCD$ , są dwa możliwe położenia punktu $D$ (symetryczne względem przerywanej linii). Jeden z tych punktów daje kąt rozwarty $BDC$ a drugi daje kąt ostry. W naszej sytuacji $∡B > ∡A$ , więc kąt $BDC$ ma być ostry, czyli $CD = x = 2$ .
Inny sposób ustalenia, które rozwiązanie jest prawidłowe, to napisanie twierdzenia cosinusów w trójkącie $CAD$ :
$2 2 2 ∘ DA = AC + DC − 2AC ⋅DC co s60 28 = 3 6+ x 2 − 6x 2 x − 6x + 8 Δ = 36− 32 = 4 x = 2 ∨ x = 4.$
Widać, że $x = 1$ nie jest pierwiastkiem, a $x = 2$ jest.
Odpowiedź: $2$
Na mocy twierdzenia sinusów $AD 2DB 2DB RADC = ------------ = ------------ = ------------= 2RDBC . 2 sin∡ACD 2 sin ∡ACD 2sin∡DCB$

Odpowiedź: $RADC = 2RDBC$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło