Zadania.info: zadanie nr 4357507, Dane jest równanie (m-1)x^2+2(m+2)x+m=0 z niewiadomą x. Zbadaj, 590

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 7734 zadania, 371 zestawów, 30 poradników

cornersUpL

cornersUpR

Strona główna

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU

cornersM

random

Podobne strony

cornersR

/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Liczba pierwiastków

Zadanie nr 4357507

Dane jest równanie $2 (m − 1)x + 2(m + 2)x + m = 0$ z niewiadomą $x$ .

Zbadaj liczbę pierwiastków równania w zależności od wartości parametru $m$ .
Dla jakich wartości parametru $m$ zachodzi nierówność $log2 x1 + lo g2x 2 < 0$ , gdzie $x1,x2$ są różnymi pierwiastkami danego równania.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw przypadek, gdy współczynnik przy $x2$ jest równy 0 (równanie nie jest kwadratowe). Dla $m = 1$ mamy równanie $6x + 1 = 0 ,$
które ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jeżeli natomiast równanie jest kwadratowe, to liczymy $Δ$ -ę.
$2 2 2 Δ = 4(m + 2) − 4m((m − 1)) = 4(m + 4m + 4− m + m ) = 4 = 4(5m + 4) = 20 m + -- . 5$
Widzimy zatem, że liczba pierwiastków równania wyraża się wzorem
$( 4 |||| 0 dla m < − 5 { 1 dla m = − 45 lub m = 1 ( 4 ) |||| 2 dla m ∈ − 5,1 ∪ (1,+ ∞ ) ($
Aby wyrażenie $log 2x1 + log2x 2$
miało sens oba pierwiastki równania muszą być dodatnie, oraz musi być spełniona nierówność
$0 > log 2x1 + log2 x2 = log2x 1x2 1 > x1x2.$
Oba te warunki (dodatniość pierwiastków i nierówność) możemy zapisać przy pomocy wzorów Viète’a następująco
$( −2(m+ 2) |{ 0 < x1 + x2 = --m−1--- 0 < x1x 2 = -m-- |( m−m-1 1 > x1x 2 = m− 1. (| 0 > (m + 2)(m − 1 ) { 0 < m (m − 1) |( 0 > m-−(m−-1) ( m −1 |{ m ∈ (−2 ,1) | m ∈ (−∞ ,0 )∪ (1,+ ∞ ) ( 0 > m − 1 ⇐ ⇒ 1 > m .$
Rozwiązaniem powyższego układu nierówności jest zbiór $(− 2,0)$ . W połączeniu z warunkiem na $Δ$ -ę z poprzedniego podpunktu daje to przedział $(− 4,0) 5$ .
Odpowiedź: $4 m ∈ (− 5,0)$

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!