Zadania.info: zadanie nr 5074950, Ze zbioru {1,2,3,...,n} losujemy bez zwracania parę liczb (a,b)., 620

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 7734 zadania, 371 zestawów, 30 poradników

cornersUpL

cornersUpR

Strona główna

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU

cornersM

random

Podobne strony

cornersR

/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Zbiory liczb/Nierówności

Zadanie nr 5074950

Ze zbioru ${1,2,3,...,n}$ losujemy bez zwracania parę liczb $(a ,b)$ . Dla jakich $n$ prawdopodobieństwo wylosowania pary spełniającej warunek $|a− b| ≥ 3$ jest większe od $13$ ?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Parę liczb możemy wybrać na

|Ω | = n ⋅(n − 1)

sposobów. Par spełniających podany warunek jest dość sporo, więc łatwiej będzie nam policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Pytanie zatem brzmi: dla jakich $n$ prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest mniejsze od $2 3$ ?

Jeżeli $|a − b| = 1$ to liczby $a$ i $b$ są sąsiednie. Jest $n − 1$ par liczb sąsiednich:

(1,2),(2,3),...,(n − 1,n ),

ale ponieważ uwzględniamy kolejność mamy $2n − 2$ takich par.

Jeżeli $|a − b| = 2$ to mamy następujące możliwości:

(1,3),(2,4),...,(n − 2,n ).

Pamiętając jeszcze o zmianie kolejności mamy $2n − 4$ takich par. Pozostało więc rozwiązać nierówność

2n − 2 + 2n − 4 2 ----------------< -- n(n − 1) 3 -4n-−-6-- 2- 3n-(n−--1) n(n − 1 ) < 3 / ⋅ 2 2 6n − 9 < n − n 2 0 < n − 7n + 9 Δ = 49− 36 = 13 √ --- √ --- n1 = 7-−---1-3 ≈ 1,7, n2 = 7-+---13-≈ 5,3 2 2 n ∈ (− ∞ ,n1) ∪ (n2,+ ∞ ).

Ponieważ interesują na liczby naturalne $n$ , mamy $n ≥ 6$ .
Odpowiedź: $n ≥ 6$

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!