Zadania.info: zadanie nr 515099, Pole rombu jest równe 60{cm}^2. Dłuższa przekątna rombu podzieliła, 637

Zadania

Romb

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb/Dany kąt

Zadanie nr 515099

Pole rombu jest równe $2 6 0cm$ . Dłuższa przekątna rombu podzieliła kąt ostry rombu na takie dwa kąty o mierze $α$ , że $tg α = 185$ . Oblicz długość boku rombu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Sposób I

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe oraz dzielą się na połowy, trójkąt $ABS$ jest prostokątny i ma pole $1PABCD = 15 4$ . Korzystając z deﬁnicji tangensa w trójkącie $ABS$ mamy

c- tg α = b 8 c 8 ---= -- ⇒ c = --b . 15 b 15

Z drugiej strony, ponieważ pole jest równe 15, mamy

cb = 30 ( ) -8b b = 30 15 15 b2 = 30 ⋅--- 8 2 152- 15- b = 4 ⇒ b = 2 .

Daje to

c = 8-b = 8--⋅ 15-= 4. 15 15 2

Długość $a$ boku rombu wyliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 AB = AS + SB a2 = b2 + c2 a2 = 22-5+ 16 4 2 22-5+--64 a = 4 28 9 17 a2 = ---- ⇒ a = --- 4 2

Sposób II

Tym zadanie rozwiążemy używając więcej trygonometrii. Ponieważ pole rombu można liczyć ze wzoru

2 P = a sin 2α,

To do wyliczenia boku rombu wystarczy wyliczyć $sin 2α$ . Można to zrobić na różne sposoby, my wyliczymy najpierw $sin α$ i $co sα$ , a potem $sin 2α$ . Liczymy