Zadania.info: zadanie nr 7172985, Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego(a

Zadanie nr 7172985

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $(an)$ wynosi 124, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 125.

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego $(a ) n$ .
Sprawdź czy istnieje takie $n$ , dla którego $2√2[(1+ √2)2−3] an = 5(√3+-1)(√-3−-1)$ .
Jakie dwie liczby $x$ i $y$ należy wstawić między pierwszy i trzeci wyraz ciągu $(an)$ , aby ciąg $(a1,x,y,a3)$ był ciągiem arytmetycznym?

Rozwiązanie

Ze wzorów na sumę początkowych oraz wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy układ równań. ${ 1−q3 a1 ⋅1−q = 12 4 1a−1q-= 125.$
Podstawiając za $a 1−1q-$ w pierwszym równaniu otrzymujemy
$12 5(1− q3) = 124 3 12 5− 125q = 12 4 3 1 12 5q = 1 ⇒ q = -. 5$
Zatem
$4- a1 = 1 25(1− q) = 125 ⋅5 = 100.$

Odpowiedź: $1 a1 = 100, q = 5$
Przekształćmy najpierw podane wyrażenie (korzystając ze wzorów skróconego mnożenia). $√ --[ √ -- ] √ -[ √ -- ] 2 2 (1+ 2)2 − 3 2 2 1+ 2 2+ 2− 3 ---√--------√-------- = ------------------------= -8- = 4-. 5( 3 + 1)( 3 − 1) 5(3 − 1) 1 0 5$
Musimy więc rozwiązać równanie
$an = a1qn−1 = 4- 5 -1--- 4- 1 00⋅ 5n−1 = 5 100 ⋅5 -------= 5n− 1 4 5 3 = 5n−1 ⇒ n = 4.$

Odpowiedź: Istnieje, $n = 4$
Pytanie brzmi dla jakich $x$ i $y$ ciąg $( ) 100 100,x,y ,---- = (10 0,x,y,4) 25$
jest arytmetyczny. Tak będzie, gdy
${ 2x = 100+ y 2y = x + 4$
(wyrazy $x$ i $y$ muszą być średnimi arytmetycznymi sąsiednich wyrazów). Dodajemy do pierwszego równania dwa razy drugie (żeby skrócić $x$ ) i mamy
$2x + 4y = 100 + y + 2x + 8 3y = 1 08 ⇒ y = 3 6.$
Zatem $x = 2y − 4 = 6 8$ .
Odpowiedź: $(x ,y) = (68,36)$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło