Zadania.info: zadanie nr 7314190, Wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt, 874

Zadania

Wzór z wykresu

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Wzór z wykresu/3 niewiadome

Zadanie nr 7314190

Wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $W (1,4)$ . Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $⟨− 2,2⟩$ wynosi -5.

Przedstaw wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej.
Rozwiąż nierówność $f(x) < 0$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystając z postaci kanonicznej wiemy wiemy, że szukana funkcja musi mieć postać
$2 f(x) = a(x− 1) + 4.$
Dodatkowa informacja jaką mamy, to najmniejsza wartość funkcji w przedziale $⟨− 2,2⟩$ . Ponieważ ta wartość najmniejsza nie jest osiągana w wierzchołku paraboli, parabola ta musi mieć ramiona skierowane w dół.

Ponadto, ponieważ jej wierzchołek jest w punkcie $x = 1$ , a więc bliżej prawego końca przedziału $⟨− 2,2⟩$ , wartość najmniejsza musi być osiągana w lewym końcu przedziału, czyli dla $x = − 2$ (rysunek). Zatem $f(− 2) = − 5$ , co daje
$− 5 = a(− 2 − 1)2 + 4 = 9a + 4 ⇒ 9a = − 9 ⇒ a = −1 .$
Zatem
$f(x ) = − (x− 1)2 + 4 = 4 − (x − 1)2 = (2 − (x − 1))(2 + (x − 1)) = = (3− x)(1 + x) = − (x − 3)(x + 1).$

Sposób II

Niech $2 f (x) = ax + bx + c$ . Dane współrzędnych wierzchołka dają nam równania
${ −b- 2a = 1 −4Δa-= 4 { b = − 2a b2 − 4ac = − 16a.$
Tak jak w poprzednim sposobie stwierdzamy, że $f(− 2) = − 5$ , co daje równanie
$2 a(− 2) + b (−2 )+ c = −5 4a− 2b+ c = − 5 c = − 5+ 2b− 4a.$
Wyliczoną wartość podstawiamy do drugiego z wcześniej wyliczonych równań i mamy układ
${ b = − 2a b2 − 4a(− 5 + 2b − 4a) = − 1 6a { b = − 2a 2 2 { b + 20a − 8ab + 16a = − 16a b = − 2a b2 + 36a − 8ab + 16a 2 = 0.$
Podstawiamy $b$ z pierwszego równania i mamy
$2 2 (− 2a) + 3 6a− 8a(− 2a)+ 16a = 0 36a2 = − 36a a = − 1.$
Stąd $b = 2$ i $c = 3$ , czyli $f(x) = −x 2 + 2x + 3$ . Aby przedstawić ten trójmian w postaci iloczynowej musimy wyliczyć pierwiastki. $2 Δ = 4+ 12 = 16 = 4$ , co daje
$−-2-−-4 x1 = − 2 = 3 − 2 + 4 x2 = ------- = − 1. − 2$
Zatem $f(x) = − (x + 1)(x − 3)$
Odpowiedź: $− (x+ 1)(x− 3)$
Odczytujemy z wykresu, $x ∈ (− ∞ ,− 1)∪ (3,∞ )$ .
Odpowiedź: $(− ∞ ,− 1)∪ (3,∞ )$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło