Zadania.info: zadanie nr 7723898, Dane są punkty A=(1,1), B=(9,5), C=(5,8). Wyznacz punkt D tak,, 917

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 7723898

Dane są punkty $A = (1,1), B = (9,5), C = (5,8)$ .

Wyznacz punkt $D$ tak, aby czworokąt $ABCD$ był trapezem prostokątnym, którego kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty.
Czy w ten trapez można wpisać okrąg? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.

Skoro kąt prosty ma być przy wierzchołku $A$ , a z obrazka widać, że bok $CB$ nie jest prostopadły do $AB$ więc równoległe muszą być boki $AB$ i $CD$ . Napiszemy teraz równania prostych $AD$ i $CD$ , a potem znajdziemy ich punkt wspólny.
Prosta $AD$ jest prostopadła do $AB$ i przechodzi przez punkt $A$ . Najprostszy sposób napisania równania takiej prostej to skorzystanie ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora $→ v = [p,q]$ i przechodzącej przez punkt $(x0,y0)$ :
$p (x− x )+ q(y− y ) = 0. 0 0$
W naszej sytuacji mamy $→ → v = AB = [8,4]$ , a punkt to $A$ . Zatem prosta $AD$ ma równanie
$8(x− 1)+ 4(y− 1) = 0 / : 4 2x− 2+ y− 1 = 0 ⇒ y = − 2x+ 3.$
Prosta $DC$ jest prostopadła do $AD$ , zatem jest postaci $y = 1x+ b 2$ . Współczynnik $b$ wyliczamy podstawiając współrzędne punktu $C$ .
$8 = 1-⋅5 + b ⇒ b = 11. 2 2$
Szukamy teraz punktu wspólnego otrzymanych prostych
${ y = −2x + 3 y = 12x + 112 .$
Porównując $y$ -ki mamy
$1- 1-1 − 2x + 3 = 2x + 2 5 5 − --= -x ⇒ x = − 1. 2 2$
Zatem $y = − 2x + 3 = 5$ .
Odpowiedź: $D = (− 1,5)$
Musimy sprawdzić, czy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe. Liczymy $∘ ------------------- √ -------- √ -- AB = (9− 1)2 + (5 − 1 )2 = 64+ 16 = 4 5 ∘ ------------------- ------- BC = (5 − 9 )2 + (8 − 5)2 = √ 1 6+ 9 = 5 ∘ --------------------- 2 2 √ ------- √ -- CD = (−-1−--5)-+--(5−-8-)-= 36+ 9 = 3 5 ∘ 2 2 √ ------- √ -- AD = (− 1 − 1) + (5− 1) = 4 + 16 = 2 5.$
Teraz widać, że
$√ -- √ -- AB + CD = 7 5 ⁄= BC + AD = 5 + 2 5$
(prawa strona jest zdecydowanie mniejsza).
Odpowiedź: Nie, nie można.