Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8077442

Dane są punkty A = (2,3) i B = (5,4) . Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu, że jeżeli mamy dwa punkty A i B po jednej stronie prostej, to punkt C na tej prostej, dla którego łamana ACB jest najkrótsza to punkt, dla którego kąty jakie tworzą odcinki AC i BC z daną prostą są równe (rysunek).


PIC


Uzasadnienie tego jest proste, jeżeli B′ jest obrazem punktu B w symetrii względem danej prostej, to

AC + CB = AC + CB ′

i ta ostatnia liczba jest najmniejsza, gdy punkty A ,C i B ′ leżą na jednej prostej, co sprowadza się do warunku α = β .


PIC


W sytuacji naszego zadania, sprawa jest wyjątkowo prosta, bo ponieważ prosta jest pozioma, łatwo jest znaleźć obraz punktu B przy symetrii względem tej prostej, B ′ = (5,6) . Napiszemy teraz równanie prostej AB ′ i znajdziemy jej punkt C wspólny z prostą y = 5 .

Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA) − (yB − yA )(x − xA ) = 0

W naszej sytuacji

(y − 3)(5 − 2) − (6 − 3)(x − 2) = 0 (y − 3) − (x − 2) = 0 y − x − 1 = 0.

Zatem dla y = 5 mamy x = 4 .  
Odpowiedź: C = (4,5)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.