Zadania.info: zadanie nr 8179040, Dany jest okrąg o równaniu x^2 + y^2-8x+12 = 0. Wyznacz równania, 1430

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczne do okręgu

Zadanie nr 8179040

Dany jest okrąg o równaniu $2 2 x + y − 8x + 12 = 0$ .

Wyznacz równania stycznych do okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych.
Oblicz pole ﬁgury ograniczonej stycznymi i łukiem okręgu wyznaczonym przez punkty styczności.

Rozwiązanie

Zacznijmy od ustalenia o jaki okrąg chodzi (jaki ma środek i promień).

2 2 x − 8x + 16 + y − 16 + 12 = 0 (x − 4)2 + y2 = 4.

Jest więc okrąg o środku $S = (4,0)$ i promieniu 2. Teraz możemy naszkicować opisaną sytuację.

Proste przechodzące przez początek układu współrzędnych są postaci $y = ax$ (z wyjątkiem pionowej prostej $x = 0$ , ale widać, że ta nie jest styczną). Sprawdźmy kiedy taka prosta i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny (wstawiamy $y = ax$ ) do równania okręgu. $x2 − 8x + (ax)2 + 12 = 0 2 2 (1+ a )x − 8x + 12 = 0.$
Współczynnik przy $x2$ jest niezerowy, więc mamy równanie kwadratowe. Wystarczy zatem sprawdzić, kiedy $Δ = 0$ .
$2 2 2 0 = Δ = 64 − 48(1 + a ) = 1 6(4− 3− 3a ) = 16(1 − 3a ) √ 3- 3a2 = 1 ⇒ a = ± ---. 3$
Wyznaczmy od razu punkty wspólne $A$ i $B$ tych stycznych i okręgu (przyda nam się to w następnym podpunkcie).
$2 2 (1( + a )x) − 8x + 12 = 0 1- 2 1 + 3 x − 8x + 12 = 0 4-x2 − 8x + 12 = 0 / ⋅ 3 3 4 x2 − 6x + 9 = 0 2 (x − 3) = 0 ⇐ ⇒ x = 3.$
Zatem $√- 3-3- √ -- y = ax = ± 3 = ± 3$ i punkty wspólne mają współrzędne $√ -- √ -- A = (3 ,− 3 ),B = (3, 3 )$ .
Odpowiedź: $√- √- y = − -3x, y = -3x 3 3$
Żądane pole ﬁgury obliczymy odejmując od pola czworokąta $ASBO$ pole wycinka kołowego $ASB$ . Czworokąt $ASBO$ składa się z dwóch identycznych trójkątów $SBO$ i $SAO$ . Podstawa tego $SO$ takiego trójkąta ma długość równą pierwszej współrzędnej punktu $S$ , czyli $SO = 4$ . Jego wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość równą drugiej współrzędnej punktu $B$ , zatem pole jest równe $√ -- √ -- P = 2P = 4⋅ 3 = 4 3. ASBO SBO$
Do wyliczenia pola odcinka $BSA$ potrzebna nam jest znajomość miary kąta $BSA$ . Policzmy najpierw miarę konta $OSB$ . Ponieważ trójkąt $SBO$ jest prostokątny (bo styczna jest prostopadła do promienia), mamy
$√ ------ √ -- sin ∡OSB = OB--= --9-+-3-= --3. OS 4 2$
Zatem $∡OSB = 60 ∘$ i $∡BSA = 1 20∘$ . Interesujące nas pole wycinka koła stanowi więc trzecią część pola całego koła, czyli
$1 4 --⋅π ⋅22 = -π . 3 3$
Możemy wreszcie policzyć pole ﬁgury opisanej w poleceniu,
$4- √ -- 4- P = PASBO − 3π = 4 3 − 3 π .$

Odpowiedź: $√ -- 4 4 3 − 3π$